Laplaces regel - Hva er det, definisjon og konsept

Laplace's regel er en metode som lar deg raskt beregne determinanten til en firkantmatrise med dimensjon 3 × 3 eller større ved hjelp av en rekursiv utvidelseserie.

Med andre ord faktoriserer Laplace's regel den opprinnelige matrisen i lavere dimensjonale matriser og justerer tegnet sitt basert på elementets posisjon i matrisen.

Denne metoden kan utføres ved hjelp av rader eller kolonner.

Anbefalte artikler: matriser, matrisetypologier og determinant for en matrise.

Laplaces regelformel

Gitt en matrise Z_mxn hvilken som helst dimensjon mxn,hvor m = n utvides med hensyn til i-rad, deretter:

• D_ijer determinanten oppnådd ved å eliminere i-rad og i-kolonne av Z_mxn.

• M_ijer jeg, j-th mindre. Det avgjørende D_iji funksjon av M_ijkalles i, j-th kofaktorav matrisen Z_mxn.
• til er skiltinnstillingen til posisjonen.

Teoretisk eksempel på Laplace's regel

Vi definerer TIL_3×3 Hva:

1. La oss starte med det første elementet a₁₁. Vi rasper radene og kolonnene som utgjør₁₁. Elementene som forblir uten gitter, vil være den første determinanten mindre ganget med a₁₁.

2. Vi fortsetter med det andre elementet i første rad, det vil si til₁₂. Vi gjentar prosessen: vi rasper radene og kolonnene som inneholder₁₂.

Vi justerer tegnet på mindreårige:

Vi legger til den andre determinanten mindretil forrige resultat, og vi danner en utvidelseserie slik at:

3. Vi fortsetter med det tredje elementet i første rad, det vil si til₁₃. Vi gjentar prosessen: vi rister raden og kolonnen som inneholder₁₃.

Vi legger til den tredje determinanten mindre til forrige resultat, og vi utvider utvidelsesserien slik at:

Siden det ikke er flere elementer igjen i første rad, lukker vi den rekursive prosessen. Vi beregner determinantene mindreårige.

På samme måte som elementer fra første rad er brukt, kan denne metoden også brukes med kolonner.

Laplaces regel praktiske eksempel

Vi definerer TIL_3×3Hva:

1. La oss starte med det første elementet r₁₁= 5. Vi rasper radene og kolonnene som utgjør₁₁= 5. Elementene som forblir uten gitter, vil være den første determinanten mindre ganget med a₁₁=5.

2. Vi fortsetter med det andre elementet i første rad, det vil si r₁₂= 2. Vi gjentar prosessen: vi rasper radene og kolonnene som inneholder r₁₂=2.

Vi justerer tegnet på mindreårige:

Vi legger til den andre determinanten mindre til forrige resultat, og vi danner en utvidelseserie slik at:

3. Vi fortsetter med det tredje elementet i første rad, det vil si r₁₃= 3. Vi gjentar prosessen: vi rister raden og kolonnen som inneholder r₁₃=3.

Vi legger til den tredje determinanten mindre til forrige resultat, og vi utvider utvidelsesserien slik at:

Matematikkens determinantR_3×3 er 15.