Laplace's regel er en metode som lar deg raskt beregne determinanten til en firkantmatrise med dimensjon 3 × 3 eller større ved hjelp av en rekursiv utvidelseserie.
Med andre ord faktoriserer Laplace's regel den opprinnelige matrisen i lavere dimensjonale matriser og justerer tegnet sitt basert på elementets posisjon i matrisen.
Denne metoden kan utføres ved hjelp av rader eller kolonner.
Anbefalte artikler: matriser, matrisetypologier og determinant for en matrise.
Laplaces regelformel
Gitt en matrise Zmxn hvilken som helst dimensjon mxn,hvor m = n utvides med hensyn til i-rad, deretter:
- Dijer determinanten oppnådd ved å eliminere i-rad og i-kolonne av Zmxn.
- Mijer jeg, j-th mindre. Det avgjørende Diji funksjon av Mijkalles i, j-th kofaktorav matrisen Zmxn.
- til er skiltinnstillingen til posisjonen.
Teoretisk eksempel på Laplace's regel
Vi definerer TIL3×3 Hva:
- La oss starte med det første elementet a11. Vi rasper radene og kolonnene som utgjør11. Elementene som forblir uten gitter, vil være den første determinanten mindre ganget med a11.
2. Vi fortsetter med det andre elementet i første rad, det vil si til12. Vi gjentar prosessen: vi rasper radene og kolonnene som inneholder12.
Vi justerer tegnet på mindreårige:
Vi legger til den andre determinanten mindretil forrige resultat, og vi danner en utvidelseserie slik at:
3. Vi fortsetter med det tredje elementet i første rad, det vil si til13. Vi gjentar prosessen: vi rister raden og kolonnen som inneholder13.
Vi legger til den tredje determinanten mindre til forrige resultat, og vi utvider utvidelsesserien slik at:
Siden det ikke er flere elementer igjen i første rad, lukker vi den rekursive prosessen. Vi beregner determinantene mindreårige.
På samme måte som elementer fra første rad er brukt, kan denne metoden også brukes med kolonner.
Laplaces regel praktiske eksempel
Vi definerer TIL3×3Hva:
1. La oss starte med det første elementet r11= 5. Vi rasper radene og kolonnene som utgjør11= 5. Elementene som forblir uten gitter, vil være den første determinanten mindre ganget med a11=5.
2. Vi fortsetter med det andre elementet i første rad, det vil si r12= 2. Vi gjentar prosessen: vi rasper radene og kolonnene som inneholder r12=2.
Vi justerer tegnet på mindreårige:
Vi legger til den andre determinanten mindre til forrige resultat, og vi danner en utvidelseserie slik at:
3. Vi fortsetter med det tredje elementet i første rad, det vil si r13= 3. Vi gjentar prosessen: vi rister raden og kolonnen som inneholder r13=3.
Vi legger til den tredje determinanten mindre til forrige resultat, og vi utvider utvidelsesserien slik at:
Matematikkens determinantR3×3 er 15.