Poisson-fordelingen er en diskret sannsynlighetsfordeling som modellerer frekvensen av visse hendelser i et fast tidsintervall basert på den gjennomsnittlige frekvensen av forekomst av disse hendelsene.
Poisson-fordelingen er med andre ord en diskret sannsynlighetsfordeling som, bare ved å kjenne hendelsene og deres gjennomsnittlige frekvens av forekomst, kan vi kjenne deres sannsynlighet.
Poissonfordelingsuttrykk
Gitt en diskret tilfeldig variabel X, sier vi at frekvensen kan tilnærmes tilfredsstillende til en Poisson-fordeling, slik at:
I motsetning til normalfordelingen, avhenger Poisson-fordelingen bare av en parameter, mu (merket gul).
Mu rapporterer forventet antall hendelser som vil inntreffe i et angitt tidsintervall. Når vi snakker om noe "forventet", må vi omdirigere det for å tenke på gjennomsnittet. Derfor er mu gjennomsnittet av hyppigheten av hendelsene.
Både gjennomsnittet og variansen til denne fordelingen er veldig strengt positive.
Representasjon
Gitt en Poisson-fordeling med gjennomsnitt 2, er tetthets sannsynlighetsfordelingen som følger:
Funksjonen er bare definert på heltallverdier x.
Ikke alle Poisson tetthets sannsynlighetsfordelinger vil se like ut, selv om vi holder prøven den samme. Hvis vi endrer gjennomsnittet, det vil si parameteren som funksjonen er avhengig av, vil funksjonen også endres.
Sannsynlighetstetthetsfunksjon (pdf)
Denne funksjonen forstås som sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X tar en spesifikk verdi x. Det er den eksponentielle av det negative gjennomsnittet multiplisert med gjennomsnittet hevet til observasjonen og alt delt av faktorens observasjon.
For å vite sannsynligheten for hver observasjon, må vi som antydet erstatte alle observasjonene i funksjonen. Med andre ord er x en vektor av dimensjon n som inneholder alle observasjonene av den tilfeldige variabelen X. Gjennomsnittet vil også være en vektor, men av en dimensjon, slik at:
Når vi har de beregnede sannsynlighetene, kan vi sammen med observasjonene tegne sannsynlighetsdensitetsfordelingen.
Historie
Navnet på denne distribusjonen kommer fra skaperen, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), en fransk matematiker og filosof, som ønsket å modellere hyppigheten av hendelser i et fast tidsintervall. Han deltok også i å perfeksjonere loven om store tall.
App
Poisson-fordelingen brukes innen operasjonell risiko for å modellere situasjoner der et operasjonelt tap oppstår. I markedsrisiko brukes Poisson-prosessen til ventetid mellom finansielle transaksjoner i høyfrekvente databaser. Det tas også hensyn til kredittrisiko for å modellere antall konkurser.
Eksempel
Vi antar at vi er i vintersesongen, og vi vil gå på ski før desember. Sannsynligheten for at skistedene åpner før desember er 5%. Av de 100 skistedene ønsker vi å vite sannsynligheten for at det nærmeste skistedet åpner før desember. Verdsettelsen av dette skistedet er 6 poeng.
Inngangene som trengs for å beregne Poisson-tetthets sannsynlighetsfunksjonen er datasettet og mu:
- Datasett = 100 skisteder.
- Mu = 5% * 100 = 5 er forventet antall skisteder gitt datasettet.
Så den nærmeste stasjonen har 14,62% sjanse for at den åpner før desember.
Frekvenssannsynlighet
