Taylor Series - Hva er det, definisjon og konsept
Taylor-serien er en rekke krefter som strekker seg til uendelig, hvor hvert av tilleggene heves til en kraft større enn den forrige.
Hvert element i Taylor-serien tilsvarer det niende derivatet av funksjonen f evaluert i punkt a, mellom faktoren til n (n!), Og alt dette, multiplisert med x-a hevet til kraften n.
Formelt eller matematisk har Taylor-serien følgende form:
For å forstå Taylor-serien bedre, må vi huske at a er et punkt på en linje som tangerer funksjonen f. Den nevnte linjen kan i sin tur uttrykkes som en lineær funksjon hvis helling er den samme skråningen som funksjonen f i punkt a.
Et annet aspekt å huske på er at f er en differensierbar funksjon n ganger i punkt a. Hvis n er uendelig, er det en uendelig differensierbar funksjon.
I et bestemt tilfelle, når a = 0, kalles serien også McLaurin-serien.
Forskjellen mellom serier og Taylor polynom
Forskjellen mellom serier og Taylor polynom er at vi i det første tilfellet snakker om en uendelig rekkefølge, mens det i det andre er en endelig serie.
Dermed kan Taylor-polynomet defineres som en polynom-tilnærming av en funksjon n ganger differensierbar på et spesifikt punkt (a).
Eksempler på Taylor-serier
Noen eksempler på Taylor-varianter er:
- Eksponensiell funksjon:
- Trigonometriske funksjoner:
Taylor-serien applikasjoner
Noen applikasjoner av Taylor-serien er:
- Grenseanalyse.
- Analyse av stasjonære punkter eller stolpunkter i funksjoner.
- Anvendelse i L'Hopitals teorem (for å løse grenser).
- Integrert estimering.
- Estimering av konvergenser og avvik fra visse serier.
- Analyse av finansielle eiendeler og produkter når prisen uttrykkes som en ikke-lineær funksjon.
