Naturlig logaritme - Hva er det, definisjon og konsept

Den naturlige logaritmen, ln (x), er den omvendte eksponensielle funksjonen og definert i x bare for positive reelle tall.

Intuitivt, hva den naturlige logaritmen er ment å løse er følgende ligning:

og^Y= x

Hvor 'y' ville være resultatet vi leter etter. Det vil si at hvis x er 20, hvor mye ‘y’ må være verdt når du hever den til ‘e’ for at ligningen skal oppfylles. For eksempel resultatet av ln (20)

og^Y= 20 ⇒ y = 3

Når vi tar i betraktning at tallet 'e' er verdt 2,7182818 … bekrefter vi at hvis vi hever det til 3, er resultatet faktisk 20.07. Dette er slik, fordi den naturlige logaritmen på 20 faktisk er 2,99. Men i dette eksemplet har vi brukt 3 for å gjøre det lettere.

Domenet til den naturlige logaritmen

Matematisk er domenet til den naturlige logaritmen:

(x ∈ ℜ: x> 0)

Det vil si at x må være et reelt tall større enn null. Ellers eksisterer ikke funksjonen. Måten å sjekke det på er ærlig talt enkel. Vi trenger bare å sjekke det med et tall som er null eller mindre. For eksempel:

og^Y= 0 ⇒ y = Det er ikke noe resultat

Det er ikke noe 'y' tall som, når det heves til 'e', ​​resulterer i null. Vi kan komme veldig nær null, men resultatet blir aldri null.

På en mer presis måte kan vi utvide definisjonen utover positive realer til komplekse tall. For ethvert negativt reelt x vil vi definere hvor effektivt Jeg tilsvarer kvadratroten til (-1). Dette er imidlertid et mer avansert notat, og det er ikke objektivt å legge detaljer om komplekse tall i denne forklaringen.

Grafisk fremstilling av den naturlige logaritmen

Den grafiske representasjonen av denne funksjonen er:

Husker at funksjonen vi representerer er og^Y= x, ser vi at når verdien av 'y' endres, gjør også den for 'x'. La oss sjekke at grafen stemmer overens med ligningen. Vi kan se at når 'y' er null, så er 'x' lik 1. Bruk av ligningen:

og^Y= 0 ⇒ e⁰=1

Faktisk vet vi i matematikk at et hvilket som helst tall når det blir hevet til 0, resulterer i 1.

Søknad innen økonomi og økonomi

I finans vurderes bare positive realer siden de vanligvis brukes til kontinuerlig beregning av avkastning på de noterte prisene på finansielle eiendeler. Prisene er vanligvis positive, så de oppfyller begrensningen (x> 0), hvor x er prisen i dette tilfellet.

Den hyppigste bruken i økonomi er i økonometriske analyser, der enkle og / eller flere regresjoner inkorporerer logaritmer i ligningene for å gi stabilitet i regressorene, redusere atypiske observasjoner og etablere forskjellige synspunkter på estimeringen, blant andre applikasjoner.

Til syvende og sist er grunnen til at naturlige logaritmer brukes i økonometri, for å lette operasjonene som skal utføres. Logaritmer har visse egenskaper som gjør at komplekse matematiske operasjoner kan utføres relativt raskt og enkelt.