Taylor polynom er en polynom tilnærming av en funksjonn ganger avledelig på et bestemt punkt.
Taylor polynom er med andre ord en endelig sum av lokale derivater evaluert på et bestemt punkt.
Matematisk
Vi definerer:
f (x): funksjon av x.
f (x0): funksjon avxpå et bestemt punkt x0. Formelt står det:
F(n)(x):n-te avledede av funksjonen f (x).
applikasjoner
Taylor-utvidelsen brukes vanligvis på finansielle eiendeler og produkter hvis pris uttrykkes som en ikke-lineær funksjon. For eksempel er prisen på en kortsiktig gjeldssikkerhet en ikke-lineær funksjon som avhenger av renten. Et annet eksempel vil være alternativer der både risikofaktorer og lønnsomhet er ikke-lineære funksjoner. Beregningen av varigheten av en obligasjon er et Taylor-polynom av første grad.
Taylor polynomisk eksempel
Vi ønsker å finne den andre rekkefølgen av Taylor-tilnærmingen til funksjonen f (x) ved et punkt x0=1.
1. Vi lager relevante derivater av funksjonen f (x).
I dette tilfellet ber de oss opp til andre rekkefølge, så vi vil lage de første og andre derivatene av funksjonen f (x):
- Første derivat:
- Andre avledede:
2. Vi erstatter x0= 1 i f (x), f '(x) og f' '(x):
3. Når vi har verdien av derivatene på punktet x0= 1, vi erstatter det i Taylor-tilnærmingen:
Vi fikser polynomet litt:
Kontrollere verdier
Taylor-tilnærmingen vil være tilstrekkelig jo nærmere x0 være verdiene. For å sjekke dette erstatter vi verdier nær x0 både i den opprinnelige funksjonen og i Taylor-tilnærmingen ovenfor:
Når x0=1
Opprinnelig funksjon:
Taylor tilnærming:
Når x0=1,05
Opprinnelig funksjon:
Taylor tilnærming:
Når x0=1,10
Opprinnelig funksjon:
Taylor tilnærming:
I det første tilfellet når x0= 1, ser vi at både den opprinnelige funksjonen og Taylor-tilnærmingen gir oss det samme resultatet. Dette skyldes sammensetningen av Taylor-polynomet som vi har laget ved hjelp av lokale derivater. Disse derivatene er evaluert på et bestemt punkt, x0= 1, for å oppnå en verdi og opprette polynomet. Så jo lenger borte fra det aktuelle punktet, x0= 1, jo mindre passende tilnærming vil være for den opprinnelige ikke-lineære funksjonen. I de tilfeller der x0= 1,05 og x0= 1,10 er det en signifikant forskjell mellom resultatet av den opprinnelige funksjonen og Taylor-tilnærmingen.
Men … forskjellen er veldig liten, ikke sant?
Taylor polynomial representasjon
Hvis vi utvider ytterpunktene (der tilnærmingen beveger seg vekk fra x0=1):
Ved første øyekast kan det virke ubetydelig, men når vi jobber med grafen og foretar tilnærminger, er det veldig viktig å ta hensyn til minst de første fire desimalene. Grunnlaget for tilnærmingene er presisjon.