En ikke-symmetrisk matrise er en ikke-kvadratisk matrise der elementene i den transponerte matrisen er i forskjellige posisjoner enn elementene i den opprinnelige matrisen.
Med andre ord er den ikke-symmetriske matrisen en matrise der antall rader (n) er forskjellig fra antall kolonner (m) og transponeringen av matrisen er forskjellig fra den opprinnelige matrisen.
Det er viktig å ikke forveksle ikke-symmetriske matriser med antisymmetriske matriser, siden de er veldig forskjellige begreper og refererer til forskjellige elementer i matrisen.
For at en matrise skal være symmetrisk, må den være en kvadratmatrise og den må være lik den transponerte matrisen. Med andre ord at antall rader (n) er lik antall kolonner (m) og at elementene i matrisen ikke endres når radene er endret av kolonnene.
Matematisk betyr begrepet symmetri at anvendelse av transponeringsoperasjonen, elementene i matrisen ikke vil endres.
Den symmetriske matrisen og speilene
Vi vil bedre forstå begrepet ikke-symmetrisk matrise hvis vi tenker på effekten som et speil produserer.
Hvis vi ser i speilet, vil vi se ansiktet reflektert; hvis vi løfter en hånd, vil en hånd også heve seg i speilet. På samme måte som hvis vi lager en gest, vil den samme reflekterte gesten vises.
Vel, det samme skjer med hoveddiagonalen til en symmetrisk matrise. Elementer under eller over hoveddiagonalen vil være de samme. Det vil si at hoveddiagonalen til en symmetrisk matrise fungerer som et speil av elementene rundt den.
Gitt en symmetrisk matrise S,
Matrise S transponert ville ha følgende form:
For mer informasjon om dets matematiske egenskaper, se artikkelen om symmetrisk matrise.
Den ikke-symmetriske matrisen og speilene
Når det gjelder den ikke-symmetriske matrisen, er det som om speilet ble ødelagt.
Og når et speil er ødelagt, reflekterer det ikke godt elementene foran det. Vi kan løfte høyre hånd og se at fire hender løftes eller ingen heves.
Så, ved å bruke samme logikk, handler den ikke-symmetriske matrisen om å ikke ha de samme elementene over eller under hoveddiagonalen, og også at de ikke er like.
Slik at:
I denne matrisen kan vi ikke finne hoveddiagonalen, og det er derfor ingen symmetri i antall elementer. Videre, hvis vi transponerer den forrige matrisen, vil vi se at den ikke beholder sin opprinnelige tilstand.
Matrise NS transponert ville ha følgende form:
Gjenoppta
Når vi kommer over konseptet med en ikke-symmetrisk matrise, trenger vi bare å tenke på den symmetriske matrisen og sette en negasjon foran egenskapene. Det vil si at en ikke-symmetrisk matrise vil være slik at den tilfredsstiller:
- Matrise ikke torget.
- Transponert matrise ikke lik den opprinnelige matrisen.
Det kan virke lett å huske hva en ikke-symmetrisk matrise er, men når vi jobber med antisymmetriske matriser, forveksler vi noen ganger begrepene.