The Gauss-Markov Theorem er et sett med antagelser som en OLS (Ordinary Least Squares) estimator må oppfylle for å bli betraktet som ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator). OGhan Gauss-Markov-setningen ble formulert av Carl Friederich Gauss og Andrei Markov.
Carl Friederich Gauss og Andréi Márkov etablerte noen antagelser slik at en OLS-estimator kunne bli ELIO.
Hvis disse 5 antagelsene er oppfylt, kan vi bekrefte at estimatoren er den med den minste variansen (mest presise) av alle de lineære og objektive estimatorene. I tilfelle noen av antagelsene til de tre første mislykkes (Linearitet, Null betyr streng streng eksogenitet eller Ingen perfekt multikollinearitet), er OLS-estimatoren ikke lenger objektiv. Hvis bare 4 eller 5 mislykkes (homoscedasticitet og ingen autokorrelasjon) er estimatoren fortsatt lineær og upartisk, men den er ikke lenger den mest nøyaktige. Sammendrag sier Gauss-Markov-teorem at:
- Under antagelsene 1, 2 og 3 er OLS-estimatoren lineær og upartisk. Nå, ikke så lenge de tre første antagelsene er oppfylt, kan det sikres at estimatoren er upartisk. For at estimatoren skal være konsistent, må vi ha et stort utvalg, jo mer jo bedre.
- Under antagelser 1, 2, 3, 4 og 5 er OLS-estimatoren lineær, objektiv og optimal (ELIO).
Antakelser om Gauss-Markov-teoremet
Spesielt er det 5 antagelser:
1. Lineær modell i parametrene
Det er en ganske fleksibel antagelse. Det gjør det mulig å bruke funksjonene til variablene av interesse.
2. Null gjennomsnitt og streng eksogenitet
Det antyder at gjennomsnittsverdien av feilen betinget av forklaringer er lik den ubetingede forventede verdien og er lik null. Videre krever streng eksogenitet at modellfeil ikke er korrelert med noen observasjoner.
Null betyr:
Streng eksogenitet:
Null gjennomsnitt og streng eksogenitet mislykkes hvis:
- Modellen er dårlig spesifisert (for eksempel utelatelse av relevante variabler).
- Det er målefeil i variablene (dataene er ikke gjennomgått).
- I tidsserier svikter streng eksogenitet i forsinkede endogenitetsmodeller (selv om samtidig eksogenitet kan eksistere) og i tilfeller der det er tilbakemeldingseffekter.
I tverrsnittsdata er det mye lettere å oppnå antagelsen om eksogenitet enn i tilfelle tidsserier.
3. Ingen eksakt multikollinearitet
I utvalget er ingen av de forklarende variablene konstant. Det er ingen eksakte lineære sammenhenger mellom forklarende variabler. Det ekskluderer ikke noe (ikke perfekt) sammenheng mellom variablene. Ifølge Gauss og Markov, når en modell har nøyaktig multikollinearitet, skyldes det vanligvis en analytikerfeil.
4. Homoscedasticity
Avviket til feilen, og derfor til Y, er uavhengig av forklaringsverdiene og i tillegg variansen til den konstante feilen. Matematisk uttrykkes det som:
Her er en serie data med homoscedastisk utseende.
5. Ingen autokorrelasjon
Feilbetingelsene for to forskjellige observasjoner betinget av X er ikke relatert. Hvis prøven er tilfeldig, vil det ikke være noen autokorrelasjon.
Der jeg må ha en annen verdi enn h. Hvis prøven er tilfeldig, vil dataene og observasjonsfeilene "i" og "h" være uavhengige for alle par observasjoner "i" og "h".
