Varians-kovariansmatrisen er en kvadratmatrise av dimensjonen nxm som samler avvikene i hoveddiagonalen og kovarianter i elementene utenfor hoveddiagonalen.
Med andre ord er varians-kovariansmatrisen en matrise som har samme antall rader og kolonner og har avvikene fordelt på hoveddiagonalen og kovarianter på elementene utenfor hoveddiagonalen.
KovariansMatrise representasjon
Variansen-kovariansmatrisen uttrykkes vanligvis som
Selv om det ser ut til at det er symbolet på summeringen, og at det ikke har noen sammenheng med varians-kovariansmatrisen, representerer denne greske bokstaven perfekt innholdet i denne matrisen.
For å forstå det, la oss først se på uttrykket:
Å vite at det er m kolonner, indikerer ellipsen at kolonnene mellom andre og siste kolonne er utelatt. Tilsvarende å vite at det er n rader, indikerer ellipsen at radene mellom andre og siste rad er utelatt.
I dette tilfellet bruker vi sigma til å representere covariances og sigma i kvadrat for avvikene. Som et eksempel:
Hvilken gresk bokstav vises i alle elementene i matrisen? Sigmaen.
Så det er logisk at, for å definere varians-kovariansmatrisen, brukes også en sigma.
Gresk brev
er hovedformen for
Så hvis vi husker at varians-kovariansmatrisen uttrykkes som den store bokstaven til sigma, vil det være lettere å huske definisjonen.
Krav for at det skal være en varianskovariansmatrise
Kravene for at en matrise skal være varianskovarians er følgende:
- Firkantet matrise: samme antall rader (n) som kolonner (m), da, n = m, og derfor kan dimensjonen til denne matrisen uttrykkes både nxm og nxn.
- I hoveddiagonal det er avvik:
- Av hoveddiagonalen det er samvarianter:
App
Varians-kovariansmatrisen er veldig populær i økonometri, siden den hovedsakelig brukes i matriseberegningen av koeffisientene for lineær regresjon ved bruk av ordinære minste kvadrater, blant andre bruksområder.
I finans brukes det til å få et generelt bilde av volatiliteten til finansielle eiendeler.
Matematisk uttrykk for varians og kovarians
Matematikk uttrykkes som følger:
- Kovariansen til elementet n = 1 og m = 2
- Variansen til elementet n = 1 og m = 1
Både varians og kovarians kan korrigeres. Det vil si at nevneren er n-1 i stedet for n. Dette skyldes gradene av frihet og avhenger av om vi snakker om populasjon eller prøvevariasjoner og samvarianter.