Avstanden mellom to punkter av dimensjon R i rommet er anvendelsen av kvadratroten på vektoren som er dannet av de ordnede punktene.
Med andre ord er avstanden mellom to punkter i rommet modulen til vektoren som dannes av disse punktene.
Avstanden mellom to punkter er ikke mer enn modulen til vektoren dannet av de gitte punktene. Når vektorens modul er beregnet, vil vi allerede ha avstanden mellom de to punktene.
Formel
Gitt følgende to punkter:
Deretter vil avstanden mellom disse to punktene være modulen til vektoren de danner:
Derfor vil modulen til denne vektoren være avstanden mellom disse to punktene:
Lengden på roten vil avhenge av antall dimensjoner som punktene har. Hvis de bare er todimensjonale punkter, vil det bare være to ord innenfor roten. På den annen side, hvis punktene har 6 dimensjoner, vil det være 6 elementer i roten.
Det sies at punktene må bestilles fordi i vektorer, som i matriser, har rekkefølgen av faktorene betydning og er avgjørende for riktig problemløsning. En vektor som går fra punkt B til punkt C er ikke den samme som en annen vektor som går fra punkt C til punkt B.
Skjematisk:
Det de to foregående vektorene deler er avstanden: både vektor BC og vektor CB holder samme avstand mellom punktene sine. De har med andre ord den samme modulen.
Dette er fordi forskjellen mellom de to vektorene bare er tegnet på koordinatene deres. Siden modulen inkluderer å lage kvadratet til vektorens koordinater, gir den samme effekt som om vi brukte den absolutte verdien. Faktisk er dette grunnen til at vi indikerer modulen til en vektor med de to parallelle linjene:
Deretter påføres roten for å fjerne effekten av komponentenes firkant og gå tilbake til de samme enhetene.
Avstand i analytisk geometri og i virkeligheten
Når vi må beregne avstander i analytisk geometri, kan vi hjelpe oss med virkelige eksempler. Hvis vi for eksempel blir bedt om å beregne avstanden mellom to punkter, som i dette tilfellet, kan vi forestille oss oss selv som startpunktet (punkt B) og et objekt som sluttpunktet (punkt C). Så vi kan måle den avstanden ved å trekke i absolutt verdi mellom ett punkt og det andre. Med andre mer tekniske ord, beregne modulen.
Vi vil se at fra vår posisjon til objektet og fra objektet til oss vil det være samme avstand. I tillegg vil den avstanden alltid være positiv, enten den er 0 eller større. Det kan være at vi holder objektet, og derfor er avstanden 0, eller at målet er langt borte, derfor en positiv avstand.
Eksempel på avstand mellom to punkter
Beregn avstanden mellom følgende punkter:
