Eigenvektorer er vektorer multiplisert med en egenverdi i de lineære transformasjonene av en matrise. Egenverdiene er konstanter som multipliserer egenvektorene i de lineære transformasjonene til en matrise.
Med andre ord oversetter egenvektorene informasjonen fra den opprinnelige matrisen til multiplikasjon av verdier og en konstant. Egenverdiene er denne konstanten som multipliserer egenvektorene og deltar i den lineære transformasjonen av den opprinnelige matrisen.
Selv om navnet på spansk er veldig beskrivende, kalles egenvektorene på engelsk egenvektorer og egenverdiene, egenverdier.
Anbefalte artikler: matrisetypologier, invers matrise, determinant for en matrise.
Egne vektorer
Egenvektorene er sett med elementer som ved å multiplisere hvilken som helst konstant, er ekvivalente med multiplikasjonen av den opprinnelige matrisen og settene med elementer.
Matematisk en egenvektorV= (v1,…, Vn) av en firkantet matriseSpørsmål er hvilken som helst vektorV som tilfredsstiller følgende uttrykk for enhver konstanth:
QV = hV
Egne verdier
Den konstante h er egenverdien som tilhører egenvektoren V.
Egenverdiene er de virkelige røttene (røtter som har reelle tall som en løsning) som vi finner gjennom den karakteristiske ligningen.
Egenskaper ved egenverdier
- Hver egenverdi har uendelige egenvektorer siden det er uendelige reelle tall som kan være en del av hver egenvektor.
- De er skalarer, de kan være komplekse tall (ikke ekte) og de kan være identiske (mer enn en lik egenverdi).
- Det er like mange egenverdier som det er antall rader (m) eller kolonner (n) har den originale matrisen.
Vektorer og egenverdier
Det er et lineært avhengighetsforhold mellom vektorer og egenverdier siden egenverdiene multipliserer egenvektorene.
Matematisk
Hvis V er en egenvektor av matrisenZ Y h er egenverdien til matrisen Z, deretterhV er en lineær kombinasjon mellom vektorer og egenverdier.
Karakteristisk funksjon
Den karakteristiske funksjonen brukes til å finne egenverdiene til en matriseZ torget.
Matematisk
(Z - hl) V = 0
Hvor ZYh er definert ovenfor ogJeg er identitetsmatrisen.
Vilkår
For å finne vektorer og egenverdier for en matrise, må den være tilfredsstilt:
- Matrise Z kvadrat: antall rader (m) er det samme som antall kolonner (n).
- Matrise Z ekte. De fleste matriser som brukes i finans har reelle røtter. Hvilken fordel er det ved å bruke ekte røtter? Egenverdiene til matrisen kommer aldri til å være komplekse tall, og det, venner, løser livene våre mye.
- Matrise (Z- hI) ikke inverterbar: determinant = 0. Denne tilstanden hjelper oss til alltid å finne andre vektorer enn null. Hvis vi fant egenvektorer lik 0, ville multiplikasjonen mellom verdier og egenvektorer være null.
Praktisk eksempel
Vi antar at vi ønsker å finne vektorene og egenverdiene til aZ 2 × 2 dimensjonsmatrise:
1. Vi erstatter matrisen Z YJeg i den karakteristiske ligningen:
2. Vi fikser faktorene:
3. Vi multipliserer elementene som om vi leter etter determinanten til matrisen.
4. Løsningen på denne kvadratiske ligningen er h = 2 og h = 5. To egenverdier fordi antall rader eller kolonner i matrisen Z er 2. Så vi har funnet egenverdiene til matrisen Z som igjen gjør determinanten 0.
5. For å finne egenvektorene må vi løse:
6. For eksempel (v1, v2) = (1,1) for h = 2 og (v1, v2) = (- 1,2) for h = 5:
