Den lineære transformasjonen av matriser er lineære operasjoner gjennom matriser som endrer den opprinnelige dimensjonen til en gitt vektor.
Med andre ord kan vi endre dimensjonen til en vektor ved å multiplisere den med en hvilken som helst matrise.
Lineære transformasjoner er grunnlaget for vektorene og egenverdiene til en matrise, siden de avhenger lineært av hverandre.
Anbefalte artikler: operasjoner med matriser, vektorer og egenverdier.
Matematisk
Vi definerer en matriseC hvilken som helst av dimensjon 3 × 2 multiplisert med en vektor V av dimensjonn = 2 slik at V = (v1, v2).
Hvilken dimensjon vil resultatvektoren være?
Vektoren som er resultatet av matrisenC3×2med vektorV2×1vil være en ny V'-vektor av dimensjon 3.
Denne endringen i dimensjonen til vektoren skyldes den lineære transformasjonen gjennom matrisen C.
Praktisk eksempel
Gitt den firkantede matrisenR med dimensjon 2 × 2 og vektorenV av dimensjon 2.
En lineær transformasjon av dimensjonen til vektorenV Det er:
hvor den opprinnelige dimensjonen til vektoren V var 2 × 1 og nå den endelige dimensjonen til vektoren Du ser3 × 1. Denne endringen i dimensjon oppnås ved å multiplisere matrisen R.
Kan disse lineære transformasjonene være representert grafisk? Selvfølgelig!
Vi vil representere resultatvektoren V 'i et plan.
Deretter:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafisk
Eigenvektorer ved hjelp av grafisk fremstilling
Hvordan kan vi bestemme at en vektor er en egenvektor av en gitt matrise bare ved å se på grafen?
Vi definerer matrisenD av dimensjon 2 × 2:
Er vektorene v1= (1,0) og v2= (2,4) egenvektorer av matrisen D?
Prosess
1. La oss starte med den første vektoren v1. Vi gjør den forrige lineære transformasjonen:
Så hvis vektoren v1 er egenvektor av matrisen D, den resulterende vektoren v1'Og vektor v1de skal tilhøre samme linje.
Vi representerer v1 = (1,0) og v1’ = (3,0).
Siden begge v1som V1’Tilhører samme linje, v1 er en egenvektor av matrisen D.
Matematisk er det en konstanth(egenverdi) slik at:
2. Vi fortsetter med den andre vektoren v2. Vi gjentar den forrige lineære transformasjonen:
Så hvis vektoren v2 er egenvektor av matrisen D, den resulterende vektoren v2'Og vektoren v2 de skal tilhøre samme linje (som grafen ovenfor).
Vi representerer v2 = (2,4) og v2’ = (2,24).
Siden v2 og V2’Ikke tilhører samme linje, v2 er ikke en egenvektor av matrisen D.
Matematisk er det ingen konstanth(egenverdi) slik at:
