Den største felles divisoren (GCF) er det største tallet som to eller flere tall kan deles med. Dette uten å etterlate rester.
Det vil si at den største felles divisoren eller GCF er den høyeste figuren som et sett med tall kan deles på, noe som resulterer i et helt tall.
En divisor kan defineres formelt som det tallet som er inneholdt i en annen nøyaktig mengde n ganger.
Det skal bemerkes at tallene som GCF beregnes på, ikke må være null.
For å forklare det bedre, la oss se på et eksempel. Anta at vi har 35 og 15. Dermed observerer vi hva skillelinjene til hver er:
- Delere på 35 → 35,7,5,1
- Delere på 15 → 15,5,3,1
Derfor er den største vanlige faktoren på 35 og 15 5.
Det er verdt å nevne at hvis de vanlige delene av to tall bare er 1 og -1, blir de kalt "primær for hverandre."
Metoder for å beregne den største felles divisoren
Vi kan skille mellom følgende tre metoder for å beregne den største felles divisoren:
- Nedbrytning av primfaktor: Tallene dekomponeres i primtall. For å beregne GCF tar vi de vanlige tallene som er hevet til den laveste effekten. Anta for eksempel at vi har 216 og 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Derfor vil den største fellesdeleren mellom begge tall være: (2 2) * 3 = 12
Anta at vi har tre elementer: 315, 441 og 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Etter å ha splittet dem og tatt hver divisor med sin laveste kraft, ville resultatet bli:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Euclids algoritme: Ved deling til Kom inn b, er et kvotient oppnådd c og en r. Så, den største fellesdeleren av til Y b er det samme som b Y r. Dette gitt følgende: a = bc + r. For å forstå det bedre, la oss bruke denne metoden på eksemplet vist tidligere med 216 og 156.
216/156 = 1 med resten på 60
nå deler vi 156/60 = 2 med resten 36
Vi deler igjen 60/36 = 1 med resten 24
Nok en gang deler vi 36/24 = 1 med resten 12
Og til slutt deler vi 24/12 = 2 med resten 0
Derfor er den største felles divisoren 12. Som vi kan se, må vi dele til resten er 0 og den siste divisoren vil være GCF.
- Basert på minst vanlig multiplum: Tallene multipliseres og resultatet deles med sitt minst vanlige multiplum (LCM).
Vi må huske at det minste vanlige multiple (LCM) er den minste figuren som tilfredsstiller betingelsen om å være et multiplum av alle elementene i et sett med tall.
Det vil si at hvis vi går tilbake til det samme eksemplet, kan vi spalte som følger:
216 = (3 3) * (2 3) og 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Det minst vanlige multiplumet vil være: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
Så: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12
Det er verdt å nevne at denne metoden bare fungerer for to tall.
