Bøyepunkt - Hva er det, definisjon og konsept

Bøyepunktet til en matematisk funksjon er det punktet der grafen som representerer den endrer konkaviteten. Det vil si at det går fra å være konkav til å være konveks, eller omvendt.

Bøyepunktet er med andre ord det øyeblikket når funksjonen endrer trend.

For å få en ide, la oss begynne med å se på den i en grafisk fremstilling, omtrent:

Det skal bemerkes at en funksjon kan ha mer enn ett bøyepunkt, eller ikke i det hele tatt. For eksempel har en linje ikke et bøyepunkt.

La oss se, i den følgende grafen, et eksempel på en funksjon med mer enn ett bøyepunkt:

I matematiske termer beregnes bøyepunktet ved å sette det andre derivatet av funksjonen lik null. Dermed løser vi roten (eller røttene) til den ligningen, og vi vil kalle den Xi.

Deretter erstatter vi Xi i det tredje derivatet av funksjonen. Hvis resultatet er forskjellig fra null, står vi overfor et bøyepunkt.

Men hvis resultatet er null, må vi erstatte de påfølgende derivatene, til verdien av dette derivatet, det være seg det tredje, fjerde eller femte, er forskjellig fra 0. Hvis derivatet er merkelig, er det et bøyepunkt, men hvis det til og med er nei.

Vendepunkteksempel

Deretter, la oss se på et eksempel.

Anta at vi har følgende funksjon:

y = 2x⁴+ 5x³+ 9x + 14

y ’= 8 ganger³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Deretter erstatter vi Xi i det tredje derivatet:

y »’ = 48x

y »’ = 48x-1,25 = -60

Siden resultatet er forskjellig fra null, befinner vi oss foran et bøyepunkt som ville være når x er lik -1,25 og y er lik -2,1328, som vist i følgende graf.

I dette observeres det at funksjonen har et bøyepunkt:

La oss nå se på et annet eksempel:

y = x⁴-54x²

y ’= 4 ganger³-108x

y »= 12x²-108=0

x²=9

Xi = 3 og -3

Deretter erstatter vi de to røttene som finnes i det tredje derivatet:

y »’ = 24x

y »’ = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

Siden resultatet ikke er null, har vi to bøyepunkter ved (3.567) og (-3.567).

For å utfylle informasjonen, inviterer vi deg til å besøke bøyningsartikkelen, der vi dekker dette konseptet på en mer generell måte: