Egenskaper for forventede verdier

Den forventede verdien av en tilfeldig variabel er begrepet analogt med matematisk algebra som vurderer det aritmetiske gjennomsnittet av settet av observasjoner av nevnte variabel.

Med andre ord er den forventede verdien av en tilfeldig variabel den verdien som vises hyppigst under gjentakelse av et eksperiment mange ganger.

Egenskaper for forventede verdier for en tilfeldig variabel

Den forventede verdien av en tilfeldig variabel har tre egenskaper som vi utvikler nedenfor:

Eiendom 1

For enhver konstant g vil den forventede verdien av denne konstanten uttrykkes som E (g) og være den samme konstanten g. Matematisk:

E (g) = g

Siden g er en konstant, det vil si at den ikke avhenger av noen variabel, vil verdien forbli den samme.

Eksempel

Hva er forventet verdi på 1? Med andre ord, hvilken verdi tilordner vi tallet 1?

E (1) =?

Nøyaktig tildeler vi verdien 1 til tallet 1, og verdien vil ikke endre seg uansett hvor mye årene går eller naturkatastrofer inntreffer. Så vi har å gjøre med en konstant variabel og derfor:

E (1) = 1 eller E (g) = g

De kan prøve andre tall.

Eiendom 2

For en hvilken som helst konstant h og k vil den forventede verdien av linjen h · X + k være lik konstanten h multiplisert med forventningen til den tilfeldige variabelen X pluss konstanten k. Matematisk:

E (h X + k) = h E (X) + k

Se nøye, minner det deg ikke om en veldig kjent straight? Akkurat regresjonslinjen.

Hvis vi erstatter:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Ha:

Y = B₀ + B₁X

Når koeffisientene B er estimert₀ , B₁ , det vil si B₀ , B₁ , disse forblir de samme for hele prøven. Så vi bruker eiendom 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Her finner vi også egenskapen til upartiskhet, det vil si at den forventede verdien av estimatoren er lik dens populasjonsverdi.

Når vi går tilbake til E (h · X + k) = h · E (X) + k, er det viktig å huske på at Y er E (h · X + k) når du trekker konklusjoner fra regresjonslinjene. Med andre ord vil det være å si at når X øker med en, øker Y med halv h enheter, siden Y er den forventede verdien av linjen h · X + k.

Eiendom 3

Hvis H er en vektor av konstanter og X er en vektor av tilfeldige variabler, kan den forventede verdien uttrykkes som summen av de forventede verdiene.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, , …, X_n)

Hei₁X₁ + h₂X₂ +… + H_nX_n) = h₁·TIDLIGERE₁) + h₂·TIDLIGERE₂) +… + H_n·TIDLIGERE_n)

Uttrykt med summer:

Denne egenskapen er veldig nyttig for avledninger innen matematisk statistikk.