Estimators egenskaper

Estimatorens egenskaper er egenskapene disse kan ha, og som tjener til å velge de som er mer i stand til å gi gode resultater.

For å starte med å definere begrepet estimator, vil vi si at gitt et vilkårlig utvalg (x₁, x₂, x₃, …, X_n) en estimator representerer en populasjon som er avhengig av φ en parameter som vi ikke kjenner.

Denne parameteren, som vi betegner med den greske bokstaven fi (φ), kan for eksempel være gjennomsnittet av en vilkårlig variabel.

Matematisk avhenger en Q-estimator av en parameter av tilfeldige observasjoner i prøven (x₁, x₂, x₃, …, X_n) og en kjent funksjon (h) av prøven. Estimatoren (Q) vil være en tilfeldig variabel fordi den avhenger av utvalget som inneholder tilfeldige variabler.

Q = h (x₁, x₂, x₃, …, X_n)

Upartiskhet av en estimator

En Q-estimator på φ er en objektiv estimator hvis E (Q) = φ for alle mulige verdier av φ. Vi definerer E (Q) som forventet verdi eller forventning til estimatoren Q.

Når det gjelder partiske estimatorer, vil denne skjevheten bli representert som:

Bias (Q) = E (Q) - φ

Vi kan se at skjevheten er forskjellen mellom den forventede verdien av estimatoren, E (Q), og den sanne verdien av populasjonsparameteren, φ.

Poengestimat

Effektiviteten til en estimator

Ja Q₁ og Q₂ er to objektive estimatorer av φ, vil deres forhold til Q være effektivt₂ når Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) for en hvilken som helst verdi av φ så lenge det statistiske utvalget av φ er strengt større enn 1, n> 1. Hvor Var er variansen og n er prøvestørrelsen.

Intuitivt uttalt, forutsatt at vi har to estimatorer med den objektive egenskapen, kan vi si at den ene (Q₁) er mer effektiv enn en annen (Q₂) hvis variabiliteten i resultatene av en (Q₁) er mindre enn den for den andre (Q₂). Det er logisk å tenke at en ting som varierer mer enn en annen er mindre "presis."

Derfor kan vi bare bruke dette kriteriet for å velge estimatorer når de er upartiske. I forrige uttalelse når vi definerer effektiviteten, antar vi allerede at estimatorene må være upartiske.

For å sammenligne estimatorer som ikke nødvendigvis er upartiske, det vil si at skjevhet kan eksistere, anbefales det å beregne estimatene på Mean Square Error (MSE).

Hvis Q er en estimator på φ, er ECM av Q definert som:

Mean Square Error (MSE) beregner gjennomsnittsavstanden som eksisterer mellom den forventede verdien av prøveestimatoren Q og populasjonsestimatoren. Den kvadratiske formen for ECM skyldes at feilene kan være som standard, negative eller for store, positive i forhold til forventet verdi. På denne måten vil ECM alltid beregne positive verdier.

ECM avhenger av varians og forspenning (hvis noen), slik at vi kan sammenligne to estimatorer når en eller begge er partisk. Den hvis NDE er større vil forstås å være mindre presis (har mer feil) og derfor mindre effektiv.

Konsistens av en estimator

Konsistens er en asymptotisk egenskap. Denne egenskapen ligner effektivitetsegenskapen med den forskjellen at konsistens måler den sannsynlige avstanden mellom verdien på estimatoren og den sanne verdien av populasjonsparameteren når prøvestørrelsen øker på ubestemt tid. Denne ubestemte økningen i prøvestørrelsen er grunnlaget for den asymptotiske egenskapen.

Det er en minste prøvedimensjon for å utføre den asymptotiske analysen (sjekk konsistensen til estimatoren når prøven øker). Store prøve-tilnærminger fungerer bra for prøver på ca. 20 observasjoner, (n = 20). Vi vil med andre ord se hvordan estimatoren oppfører seg når vi øker prøven, men denne økningen har en tendens til uendelig. Gitt dette gjør vi en tilnærming og fra 20 observasjoner i en prøve (n ≥ 20) er den asymptotiske analysen passende.

Matematisk definerer vi Q₁n som en estimator for φ fra et vilkårlig utvalg (x₁, x₂, x₃, …, X_n) av størrelse (n). Så vi kan si at Q_n er en konsekvent estimator av φ hvis:

Dette forteller oss at forskjellene mellom estimatoren og dens populasjonsverdi, | Q_n - φ |, de må være større enn null. For dette uttrykker vi det i absolutt verdi. Sannsynligheten for denne forskjellen har en tendens til 0 (blir mindre og mindre) når prøvestørrelsen (n) har en tendens til uendelig (blir større og større).

Med andre ord er det mindre og mindre sannsynlig at Q_n beveger seg for langt vekk fra φ når prøvestørrelsen øker.