Den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X er tallet som uttrykker gjennomsnittsverdien av fenomenet som denne variabelen representerer.
Den matematiske forventningen, også kalt den forventede verdien, er lik summen av sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse eksisterer, multiplisert med verdien av den tilfeldige hendelsen. Med andre ord er det gjennomsnittsverdien til et datasett. Dette med tanke på at begrepet matematisk forventning er laget av teorien om sannsynlighet.
I matematikk kalles gjennomsnittsverdien for en hendelse som har skjedd et matematisk middel. I diskrete fordelinger med samme sannsynlighet i hvert tilfelle er det aritmetiske gjennomsnittet det samme som den matematiske forventningen.
Eksempel på matematisk forventning
La oss se et enkelt eksempel for å forstå det.
La oss forestille oss en mynt. To hoder, hoder og haler. Hva ville være den matematiske forventningen (forventet verdi) om at den kommer ut av hodet?
Den matematiske forventningen vil bli beregnet som sannsynligheten for at, ved å vende mynten et veldig stort antall ganger, vil den komme opp i hodet.
Siden mynten bare kan lande i en av disse to posisjonene og begge har samme sannsynlighet for å komme ut, vil vi si at den matematiske forventningen om at den vil komme ut av hodet er en av to, eller hva som er det samme, 50% av tiden.
Vi skal gjøre en test, og vi skal snu en mynt 10 ganger. Anta at mynten er perfekt.
Spinn og resultat:
- Dyrt.
- Kryss.
- Kryss.
- Dyrt.
- Kryss.
- Dyrt.
- Dyrt.
- Dyrt.
- Kryss.
- Kryss.
Hvor mange ganger har det vært hoder (vi teller C-ene)? 5 ganger Hvor mange ganger har halene kommet ut (vi teller X-ene)? 5 ganger. Sannsynligheten for å være hoder vil være 5/10 = 0,5 eller, i prosent, 50%.
Når denne hendelsen har skjedd, kan vi beregne det matematiske gjennomsnittet av antall ganger hver hendelse har skjedd. Den dyre siden har kommet ut hver annen gang, det vil si 50% av tiden. Gjennomsnittet samsvarer med den matematiske forventningen.
Beregning av matematisk forventning
Den matematiske forventningen beregnes ved bruk av sannsynligheten for hver hendelse. Formelen som formaliserer denne beregningen er angitt som følger:
Hvor:
- X = hendelsesverdi.
- P = Sannsynlighet for å skje.
- Jeg = Perioden der denne hendelsen inntreffer.
- N = Totalt antall perioder eller observasjoner.
Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer er ikke alltid den samme, som med mynter. Det er utallige tilfeller der det er mer sannsynlig at en hendelse kommer ut enn en annen. Det er derfor vi bruker P. I formelen må vi også multiplisere med verdien av hendelsen når vi beregner matematiske tall. Nedenfor ser vi et eksempel.
Hva brukes matematisk forventning til?
Den matematiske forventningen brukes i alle de fagene der tilstedeværelsen av sannsynlige hendelser er iboende for dem. Disipliner som teoretisk statistikk, kvantefysikk, økonometri, biologi eller finansmarked. Et stort antall prosesser og hendelser som skjer i verden er unøyaktige. Et klart og lett forståelig eksempel er aksjemarkedet.
I aksjemarkedet beregnes alt ut fra forventede verdier Hvorfor forventede verdier? Fordi det er det vi håper vil skje, men vi kan ikke bekrefte det. Alt er basert på sannsynligheter, ikke sikkerhet. Hvis den forventede verdien eller den matematiske forventningen om avkastningen til en eiendel er 10% per år, betyr det at, basert på informasjonen vi har fra fortiden, er det mest sannsynlig at avkastningen blir 10% igjen. Hvis vi selvfølgelig bare tar høyde for matematisk forventning som en metode for å ta våre investeringsbeslutninger.
Innenfor finansmarkedsteorier bruker mange dette begrepet matematisk forventning. Blant disse teoriene er den som Markowitz utviklet på effektive lommebøker.
Antall i forenkling, antar at avkastningen til en finansiell eiendel er følgende:
Lønnsomhet i år 1, 2, 3 og 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Den forventede verdien vil være summen av avkastningen multiplisert med sannsynligheten for å skje. Sannsynligheten for at hver lønnsomhet "skjer" er 0,25. Vi har fire observasjoner, fire år. Hvert år har de samme sannsynlighet for å gjenta seg.
Håp = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Når vi tar hensyn til denne informasjonen, vil vi si at forventningen om avkastning på eiendelen er 11,25%.
Forventet levealder