Symmetrisk matrise - Hva er det, definisjon og konsept

En symmetrisk matrise er en matrise av rekkefølge n med samme antall rader og kolonner der den transponerte matrisen er lik den opprinnelige matrisen.

Med andre ord, en symmetrisk matrise er en kvadratmatrise og er identisk med matrisen etter å ha byttet rader for kolonner og kolonner for rader.

Krav

For at en hvilken som helst matrise skal være en symmetrisk matrise, må den oppfylle følgende begrensninger:

Gitt en symmetrisk matrise P av ordre n,

• Være en firkantet matrise.

Antall rader (n) må være det samme som antall kolonner (m). Det vil si at rekkefølgen på matrisen må være n gitt at n = m.

• Den opprinnelige matrisen må være lik dens transponert matrise.

Demonstrasjon:

Eiendommer

• Den tilgrensende matrisen til en symmetrisk matrise er også en symmetrisk matrise.

Demonstrasjon:

• Tillegg eller subtraksjon av to symmetriske matriser resulterer i en annen symmetrisk matrise.

Demonstrasjon:

Gitt to symmetriske matriser P Y T av ordre 3, får vi en annen symmetrisk matrise S fra summen.

Hvorfor kalles det en symmetrisk matrise?

Egenskapen til symmetri er gitt av elementene rundt hoveddiagonalen. Siden en kvadratmatrise er en symmetrisk matrise, vil den alltid ha samme antall elementer over og under hoveddiagonalen. Disse elementene er de samme symmetrisk. Det vil si at hoveddiagonalen fungerer som et speil.

Bevis på symmetri og skjevhet i en matrise

Symmetrisk matrise

Brevet d representerer elementene i hoveddiagonalen. De andre bokstavene representerer et reelt tall. Vi kan se at hoveddiagonalen fungerer som et speil: den reflekterer elementene på begge sider. Med andre ord, når elementene på begge sider av diagonalen er symmetrisk like, sier vi at matrisen P er en symmetrisk matrise.

Ikke-symmetrisk matrise

Matrise X Det er ikke en symmetrisk matrise siden den ikke er en kvadratmatrise og den transponerte matrisen er forskjellig fra den opprinnelige matrisen. I tillegg har den heller ikke noen hoveddiagonal.