En binomial fordeling er en diskret sannsynlighetsfordeling som beskriver antall suksesser når du utfører n uavhengige eksperimenter på en tilfeldig variabel..
Det er et stort mangfold av eksperimenter eller hendelser som kan karakteriseres under denne sannsynlighetsfordelingen. Tenk deg et myntkast der vi definerer hendelsen "å treffe hodet" som suksess. Hvis vi kaster mynten fem ganger og teller treffene (hodene) vi får, vil sannsynlighetsfordelingen vår passe en binomialfordeling.
Derfor forstås binomialfordelingen som en serie tester eller forsøk der vi bare kan ha to resultater (suksess eller fiasko), og suksess er vår tilfeldige variabel.
Egenskaper for binomialfordeling
For at en tilfeldig variabel skal anses å følge en binomial fordeling, må den oppfylle følgende egenskaper:
- I hver prøve, eksperiment eller test er bare to utfall (suksess eller fiasko) mulig.
- Sannsynligheten for suksess må være konstant. Dette er representert med bokstaven p. Sannsynligheten for at en mynt vender hodet er 0,5, og dette er konstant siden mynten ikke endres i hvert eksperiment og sannsynligheten for at hodene er konstante.
- Sannsynligheten for svikt må også være konstant. Dette er representert med bokstaven q = 1-p. Det er viktig å merke seg at ved hjelp av denne ligningen, å kjenne p eller å kjenne q, kan vi oppnå den vi mangler.
- Resultatet oppnådd i hvert eksperiment er uavhengig av det forrige. Derfor påvirker ikke det som skjer i hvert eksperiment de følgende.
- Hendelsene er gjensidig utelukkende, det vil si at de ikke begge kan forekomme samtidig. Det er ikke mulig å være en mann og en kvinne på samme tid, eller at når du kaster en mynt, kommer den ut av hoder og haler samtidig.
- Hendelsene er samlet uttømmende, det vil si at minst en av de to må forekomme. Hvis du ikke er en mann, er du en kvinne, og hvis du kaster en mynt, hvis den ikke kommer opp i hodet, må det være haler.
- Den tilfeldige variabelen som følger en binomialfordeling blir vanligvis representert som X ~ (n, p), der n representerer antall forsøk eller eksperimenter og p sannsynligheten for å lykkes.
Formel for binomialfordeling
Formelen for å beregne normalfordelingen er:
Hvor:
n = Antall forsøk / eksperimenter
x = Antall suksesser
p = Sannsynlighet for suksess
q = Sannsynlighet for feil (1-p)
Det er viktig å merke seg at uttrykket i hakeparenteser ikke er et matriseuttrykk, men er et resultat av et kombinatorisk uten repetisjon. Dette oppnås med følgende formel:
Utropstegnet i foregående uttrykk representerer faktorsymbolet.
Eksempel på binomialfordeling
La oss forestille oss at 80% av menneskene i verden har sett den siste kampen i det siste fotball-VM. Etter arrangementet møtes 4 venner for å snakke. Hva er sannsynligheten for at 3 av dem har sett spillet?
La oss definere variablene i eksperimentet:
n = 4 (er den totale prøven vi har)
x = antall suksesser, som i dette tilfellet er lik 3, siden vi ser etter sannsynligheten for at 3 av de 4 vennene har sett det.
p = sannsynlighet for suksess (0,8)
q = sannsynlighet for feil (0,2). Dette resultatet oppnås ved å trekke 1-p.
Etter å ha definert alle variablene våre, erstatter vi ganske enkelt i formelen.
Telleren for fabrikkstedet ville bli oppnådd ved å multiplisere 4 * 3 * 2 * 1 = 24, og i nevneren ville vi ha 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Derfor ville resultatet av faktoriellet være 24/6 = 4 .
Utenfor braketten har vi to tall. Den første vil være 0,8 3 = 0,512 og den andre 0,2 (siden 4-3 = 1 og hvilket som helst tall hevet til 1 er det samme).
Derfor vil vårt endelige resultat være: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Hvis vi multipliserer med 100, har vi en sannsynlighet på 40,96% for at 3 av de 4 vennene har sett VM-finalen.