En antisymmetrisk matrise er en firkantet matrise der elementene utenfor hoveddiagonalen er symmetrisk like, men de under hoveddiagonalen har et negativt tegn.
Med andre ord er en antisymmetrisk matrise en matrise som har samme antall rader (n) og kolonner (m), og elementene på begge sider av hoveddiagonalen er komplementære.
Siden elementene over og under hoveddiagonalen er forskjøvet, er elementene på hoveddiagonalen nuller.
Anbefalt artikkel: ikke-symmetrisk matrise og symmetrisk matrise.
Kjennetegn på den antisymmetriske matrisen
Egenskapene til en antisymmetrisk matrise er:
- Firkantet matrise.
- Symmetrisk matrise + negativt tegn (-) i elementene under hoveddiagonalen.
- Elementer i hoveddiagonalen er nuller (0).
Antisymmetrisk matrise
Gitt en firkantet matrise ESS,
Vi kan se hvordan de samme elementene vises på begge sider av hoveddiagonalen, men med det spesielle at elementene under hoveddiagonalen har et negativt tegn foran. Også hoveddiagonalen består av nuller.
Den antisymmetriske matrisen og speilene
På samme måte som den symmetriske matrisen, kan den antisymmetriske matrisen også forstås gjennom eksemplet med speilet.
Hvis vi ser på oss selv i speilet og løfter høyre arm, vil vi se at personen i speilet løfter venstre arm. Med andre ord kompletterer speilets bevegelse vår, og derfor vil summen av begge resultere i null.
Vi kan uttrykke ovennevnte idé som følger og utlede:
(Rekk opp hånden Ikke sant) - (Rekk opp hånden venstre) = 0
(Rekk opp hånden Ikke sant) = (Rekk opp hånden venstre)
Hoveddiagonalen fungerer som et speil, og vi ser motstridende elementer på begge sider av hoveddiagonalen. Den nøytrale funksjonen (=) tilordnes til hoveddiagonalen.
Eiendom
- Den transponerte matrisen til en antisymmetrisk matrise er lik den antisymmetriske matrisen ganget med (-1).
Det vil med andre ord være som å legge til et negativt tegn foran den antisymmetriske matrisen.
Matematisk,
Vi kan se at med begge prosedyrene når vi det samme resultatet: å gjøre matrisen transponert eller multiplisere med (-1) den antisymmetriske matrisen.
Ikke-symmetrisk matrise vs antisymmetrisk matrise vs symmetrisk matrise
Eksemplet på speilet i tilfelle av den symmetriske matrisen er nok til at det gjenspeiler den samme bevegelsen, det vil si hvis vi løfter en arm, kan vi se en hevet arm, men det er ikke nødvendig å spesifisere hva det er. Når det gjelder den antisymmetriske matrisen, må vi sjekke hvilken arm vi ser i speilet og avgjøre om det er en antisymmetrisk matrise.
Hvis vi løfter en arm og i speilet ser vi at …
- Den samme armen er hevet, fra synspunktet til personen i speilet, så er det en symmetrisk matrise.
- Den motsatte armen er hevet, fra synspunktet til personen i speilet, så er det en antisymmetrisk matrise.
- Hvis ingen armer er løftet eller mer enn en er løftet, fra synspunktet til personen i speilet, er det en ikke-symmetrisk matrise.