Cholesky-dekomponering er en spesiell type LU-matrissnedbrytning, fra engelsk Lower-Upper, som består i å ta en matrise med i produktet av to eller flere matriser.
Med andre ord består Cholesky-nedbrytningen av å likestille en matrise som inneholder det samme antall rader og kolonner (kvadratmatrise) til en matrise med nuller over hoveddiagonalen multiplisert med matrisen transponert med null under hoveddiagonalen.
LU-nedbrytningen, i motsetning til Cholesky, kan brukes på forskjellige typer firkantede matriser.
Kolesky dekomponeringsegenskaper
Den kolde nedbrytningen består av:
- En øvre trekantet firkantmatrise: Firkantmatrise som bare har nuller under hoveddiagonalen.
- En nedre trekantet firkantmatrise: En matrise som bare har nuller over hoveddiagonalen.
Matematisk, hvis det eksisterer en positiv bestemt symmetrisk matrise, OG, så eksisterer det en nedre trekantet symmetrisk matrise, K, av samme dimensjon som OG, resulterer i:
Ovennevnte matrise vises som Cholesky-matrisen til E. Denne matrisen fungerer som kvadratroten til matrisen E. Vi vet at domene til kvadratroten er:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Som er definert i alle ikke-negative reelle tall. På samme måte som kvadratroten vil Cholesky-matrisen bare eksistere hvis matrisen er semi-positiv bestemt. En matrise er semi-positiv definert når de store mindreårige har en positiv eller null determinant.
Den kolde nedbrytningen av OG er en diagonal matrise slik at:
Vi kan se at matrisene er firkantede og inneholder de nevnte egenskapene; nullenes trekant over hoveddiagonalen i den første matrisen og trekanten av nullene under hoveddiagonalen i den transformerte matrisen.
Kolesky dekomponeringsapplikasjoner
I økonomi brukes den til å transformere realiseringer av uavhengige normale variabler til normale variabler korrelert i henhold til en korrelasjonsmatrise OG.
Hvis N er en vektor av uavhengige normaler (0,1), følger det at Ñ er en vektor av normaler (0,1) korrelert iht. OG.
Eksempel på Cholesky nedbrytning
Dette er det enkleste eksempelet vi kan finne av kolesky nedbrytning siden matrisene må være firkantede, i dette tilfellet er matrisen (2 × 2). To rader med to kolonner. I tillegg oppfyller den egenskapene ved å ha nuller over og under hoveddiagonalen. Denne matrisen er semi-positiv, fordi de store mindreårige har en positiv determinant. Vi definerer:
Løsning for: c2 = 4; b · c = -2; til2+ b2 = 5; vi har fire mulige Cholesky-matriser:
Til slutt beregner vi å finne (a, b, c). Når vi har funnet dem, vil vi ha Cholesky-matriser. Beregningen er som følger:
