St. Petersburg Paradox - Hva det er, definisjon og konsept

St. Petersburg-paradokset er et paradoks observert av Nicolaus Bernoulli, og det har sin grunn til å være med på spill. Dette paradokset forteller oss at, i beslutningsteorien, er alle spill tillatt, uavhengig av deres verdi, selv om nevnte verdi viser oss at det ikke er en rasjonell beslutning.

St. Petersburg-paradokset, for at vi skulle forstå det riktig, var et paradoks beskrevet av Nicolaus Bernoulli, etter å ha observert gambling, og det er derfor dette paradokset eksisterer.

Spillteori

I denne forstand forteller paradokset oss at teorien om de formulerte avgjørelsene viser oss at den rasjonelle avgjørelsen, i et spill, er alt, uavhengig av beløpet hver innsats antar. Imidlertid, når vi korrekt analyserer denne situasjonen, og tar hånd om teorien nøyaktig, observerer vi at ingen rasjonelle vesener ville velge å ta beslutningen om å satse et beløp nær uendelig, selv om teorien indikerer at det er rasjonelt. Av denne grunn oppstår paradokset.

Opprinnelig observeres paradokset av Nicolaus Bernoulli, slik det fremgår av et brev sendt av ham til Pierre de Montmort, en fransk aristokrat og matematiker, 9. september 1713.

Men fordi Nicolaus studie ikke oppnådde resultater, presenterte han paradokset for fetteren Daniel Bernoulli i 1715, en matematiker av nederlandsk opprinnelse og rektor ved Universitetet i Basel, som møtte i St. Petersburg med en fremtredende gruppe forskere og etter års forskning, publiserte i 1738 et nytt målesystem i sitt arbeid "Exposition of a new theory in risk measure".

Modellen som Daniel foreslår, i motsetning til den som er foreslått av Nicolaus, legger grunnlaget for det som senere vil foredle og fullføre teorien om forventet nytte.

St. Petersburg paradoksformel

Formuleringen foreslått av Nicolaus Bernoulli til fetteren og Pierre de Montmort er som følger:

La oss forestille oss et pengespill der spilleren selvsagt må betale en sum for å delta.

Anta at spilleren satser på haler, og kaster mynten suksessivt til haler. Etter haler stoppes spillet og spilleren får $ 2 n.

Dermed, hvis haler, vinner spilleren først 2 1, som er $ 2. Men hvis haler igjen, vil det få 2 2, som er $ 4, og så videre. Hvis det kommer ut igjen, vil det være 8 dollar, som tilsvarer 2 3; mens, hvis det kommer ut for fjerde gang, vil premien være 16 dollar, det vil si representasjonen 2 4.

Nicolaus 'spørsmål var således følgende: Når man tar i betraktning sekvensen nevnt ovenfor og fortjenesten, hvor mye ville spilleren være villig til å betale for dette spillet uten å miste rasjonaliteten?

Eksempel på St. Petersburg-paradokset

Med tanke på formuleringen foreslått av Nicolaus, og tvilen om at han stilte til den franske matematikeren og fetteren hans, la oss se på grunnen til dette paradokset, for eksempel for å forstå hva vi mener.

Først og fremst må vi vite at vi har et uendelig antall mulige resultater før spillet starter. Selv om sannsynligheten er 1/2, kan det hende at halene ikke kommer ut før 8. rull.

Derfor er sannsynligheten for at dette krysset vises på kast k:

Pk = 1 / 2k

Overskuddet er også 2k.

Fortsetter med utviklingen, presenterer de første halene på 1. kast en gevinst på 2¹ ($ 2) og en sannsynlighet på 1/2. Haler på 2. forsøk har en gevinst på 2² (4 dollar) og en sannsynlighet på 1/2²; mens, hvis haler på det tredje forsøket, har spilleren en seier på 2³ ($ 8) og en sannsynlighet på 1/2³. Som vi kan se, et forhold som strekker seg, så lenge vi legger til løp.

Før du fortsetter, bør det bemerkes at vi i beslutningsteorien kaller matematisk forventning (EM), eller forventet seier av et spill, summen av premiene, knyttet til hvert av de mulige resultatene av spillet, og alle vektet av sannsynlighet for at hvert av disse resultatene vil oppstå.

Hvis vi tar hensyn til tilnærmingen som viser dette paradokset, ser vi at når du spiller er sannsynligheten for å vinne 2 dollar 1/2, men i tillegg er sannsynligheten for å vinne 4 1/4, mens den for å vinne 8 dollar er 1/8. Dette til du når situasjoner som å vinne 64 dollar, og sannsynligheten for denne saken er 1/64.

Med disse resultatene, hvis vi beregner den matematiske forventningen, eller det vi vet som den forventede gevinsten i spillet, må vi legge til gevinsten av alle mulige utfall vektet med sannsynligheten for at de skal forekomme, så resultatet viser oss uendelig verdi.

Hvis vi følger teorien om valg, forteller den oss at vi bør satse et hvilket som helst beløp for det enkle faktum at enhver beslutning er gunstig for oss. Det faktum at det er et paradoks, er at en spiller rasjonelt ikke vil satse på ubestemt tid, selv om teorien presser ham til å gjøre det.

Et fremtredende paradoks

Mange har vært matematikerne som har forsøkt å tyde paradokset foreslått av Bernoulli, men det er også mange som ikke har klart å løse det.

Dermed er det mange eksempler som viser oss hvordan paradokset har forsøkt å bli løst av matematikere som har adressert både spillets struktur og individene selv. Men hittil kan vi fremdeles ikke finne en gyldig løsning.

Og det er for å få en ide om kompleksiteten til dette paradokset, med tanke på valgteorien i dette eksemplet, antar vi som en mulig premie, etter beregningen, et uendelig antall mynter som, til og med antar at det var mulig, ville det være uforenlig med selve pengesystemet, siden det er penger som, i motsetning til hva paradokset sier, er begrenset.