Matrix Quadratic Form - Hva er det, definisjon og konsept

Matrisens kvadratiske form er produktet av multiplikasjonen av en vektor av orden n med en hvilken som helst kvadratmatrise av vektoren av orden n transponert.

Med andre ord er matrisens kvadratiske form en lineær kombinasjon av en kvadratmatrise, en vektor av orden n og transponering av den vektoren.

Anbefalt artikkel: operasjoner med matriser.

Matrix Quadratic Form Formula

Gitt en firkantet matrise Z av orden n og en vektor h av n dimensjoner, kan vi skrive uttrykket kalt kvadratisk form av formen:

Resultatet av den kvadratiske formen vil alltid være en skalar, det vil si et enkelt tall, ikke en matrise.

applikasjoner

Matrisens kvadratiske form brukes til å finne graden av positivitet og negativitet til de definerte matrisene. Avhengig av verdiene til vektoren h, vil verdien av den kvadratiske formen være null (0), positiv eller negativ.

Når vi har fått kvadratisk form, kan vi si at vi har "definert" matrisen. Så vi kan snakke om en bestemt matrise. Denne matrisen kan være positiv bestemt, positiv semidefinit, negativ bestemt og negativ semidefinit.

Praktisk eksempel

Finne kvadratisk form av kvadratmatrisen Z gitt en vektor h:

Prosess

Først transponerer vi vektoren h.

Deretter bruker vi formelen til den kvadratiske formen.

Som vi har sagt før, vil resultatet av den kvadratiske formen alltid være et enkelt tall. I dette tilfellet er det et strengt positivt tall.

Men … Hvordan kan det være at resultatet er et konkret tall og ikke en matrise hvis vi multipliserer matriser?

Reduksjonen av dimensjonen til matrisen fra multiplikasjon skjer fordi vi multipliserer matriser som har samme antall kolonner og rader.

Demonstrasjon:

Fra matriksproduktet Z og fra den transponerte vektoren h forblir det en vektor med dimensjonen 3 × 1. På samme måte forblir produktet av resultatvektoren og vektoren h en matrise med dimensjonen 1 × 1. En matrise med dimensjon 1 × 1 er en skalar.

Så hvis vi beregner kvadratformen til en matrise og får en matrise med en dimensjon større enn 1 × 1 (vi får et annet resultat enn et spesifikt tall), vil det bety at vi har gjort en feil i et trinn og at resultatet er feil.