Tetraeder er en polyhedron med fire ansikter, seks kanter og fire hjørner. Det er en tredimensjonal figur dannet av flere polygoner som i dette tilfellet er trekanter.
Tetraeder er preget av å være den enkleste av polyedrene, og den eneste som har mindre enn fem sider.
Det er verdt å nevne at en tetraeder er en pyramide med en trekantet base.
Element av en tetraeder
Elementene til en tetraeder, som styrer oss fra figuren nedenfor, er:
- Ansikter: De er sidene av tetraeder som, som vi nevnte, er trekanter (ABC, ADC, ADB og BDC.
- Kanter: Det er foreningen av to ansikter: AB, AC, AD, BC, CD og DB.
- Hjørner: Det er de punktene der kantene møtes: A, B, C og D.
- Dihedral vinkel: Den er dannet av foreningen av to ansikter.
- Polyhedron vinkel: Det er en som består av sidene som faller sammen i et enkelt toppunkt.
Areal og volum av tetraeder
For å kjenne egenskapene til tetraederet kan vi beregne:
- Område: Arealet av de fire trekantene som utgjør polyederet, må legges til. Sånn sett må vi huske at arealet til en trekant beregnes ved å multiplisere basen med høyden og dele med 2 (A = bxh / 2)
- Volum: Det vil bli beregnet med følgende formel
I formelen er b hvilket som helst ansikt på polyhedronet og h er høyden eller segmentet som forbinder b med sitt motsatte toppunkt. I tillegg er høyden vinkelrett på basen (de danner en rett vinkel eller måler 90º).
Vanlig tetraeder
Når alle trianglene som utgjør tetraeder er liksidige trekanter identiske med hverandre, står vi overfor en vanlig tetraeder. Det vil si at det vil være et tilfelle av en vanlig polyhedron, hvis ansikter er like, og hver og en er også en vanlig polygon.
På dette punktet må vi huske at en vanlig polygon er en der alle sidene har samme lengde og også deres indre vinkler er like.
Husk da at arealet (A) til en likesidig trekant kan beregnes ved hjelp av Herons formel der a, b og c er målene på sidene og s er semiperimeteret, som er omkretsen (P) mellom to.
Så ja:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Vi må:
Siden det er fire trekanter, multipliserer vi arealet av hver enkelt med 4 for å finne arealet til tetraederet (AT):
På den annen side, hvis vi vil beregne volumet, må vi finne høyden på polyhedronet. For å gjøre dette vil vi bli ledet av følgende bilde:
Først skal vi beregne høyden (h) til basen (trekanten ABC i dette eksemplet), som er segmentet EB. Vinkel X måler 90º, så det pytagoreiske setningen må oppfylles, og hypotenusen (BA), som måler a (lengden på alle kanter i denne tetraederen), er lik summen av hvert ben i kvadrat. Det ene benet er EA, det er midten av segmentet AC (E skjærer siden i to like store deler) og måler a / 2. Det andre beinet er også høyden på basen (h eller EB).
Deretter, etter egenskapen til det vanlige tetraederet, med F som sentrum av trekanten, vil EF være en tredjedel av segmentet EB, det vil si en tredjedel av h.
Neste trinn, for å finne høyden på tetraederet (DF), kan vi bruke Pythagoras teorem igjen fordi, da høyden er vinkelrett, er vinkelen Y riktig (den måler 90º).
Ser man på trekanten DEF, er hypotenusen DE, som er høyden på trekanten ADC, og siden alle ansiktene er like, er den samme høyde h av trekanten ABC. I sin tur er det ene benet høyden på tetraederet (DF), som vi vil kalle ht, og det andre benet er segmentet EF som vi allerede har beregnet. Derfor:
Til slutt, for å finne volumet av tetraeder (V), som vi forklarte tidligere, multipliserer vi høyden på figuren (ht) med arealet av basen (A) som er beregnet ovenfor, og deler den med tre:
Tetraedereksempel
Forutsatt at en tetraeder er vanlig og hver side av ansiktene er 20 meter. Hva er arealet (AT) og volumet (V) på figuren?
