Bayes 'setning brukes til å beregne sannsynligheten for en hendelse, og ha informasjon på forhånd om den hendelsen.
Vi kan beregne sannsynligheten for en hendelse A, også å vite at A oppfyller en viss egenskap som bestemmer sannsynligheten. Bayes teorem forstår sannsynlighet omvendt til total sannsynlighetssetning. Den totale sannsynlighetssetningen slutter om en hendelse B, fra resultatene av hendelser A. Bayes beregner for sin del sannsynligheten for A betinget av B.
Bayes teorem har blitt stilt spørsmålstegn ved. Noe som hovedsakelig skyldes dårlig anvendelse. Siden så lenge antagelsene om uensartede og uttømmende hendelser er oppfylt, er setningen helt gyldig.
Bayes teoremetning
For å beregne sannsynligheten som definert av Bayes i denne typen hendelser, trenger vi en formel. Formelen er matematisk definert som:
Hvor B er hendelsen som vi har tidligere informasjon om, og A (n) er de forskjellige betingede hendelsene. I den delen av telleren har vi den betingede sannsynligheten, og i den nedre delen den totale sannsynligheten. I alle fall, selv om formelen virker litt abstrakt, er den veldig enkel. For å demonstrere dette vil vi bruke et eksempel der vi i stedet for A (1), A (2) og A (3) direkte vil bruke A, B og C.
Bayes teoremeksempel
Et selskap har en fabrikk i USA som har tre maskiner, A, B og C, som produserer beholdere for vannflasker. Maskin A er kjent for å produsere 40% av den totale mengden, Maskin B 30% og Maskin C 30%. Det er også kjent at hver maskin produserer defekt emballasje. På en slik måte at maskin A produserer 2% av defekte pakker av sin totale produksjon, maskin B 3% og maskin C 5%. Når det er sagt, oppstår to spørsmål:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Hvis en container er produsert av dette selskapets fabrikk i USA, hva er sannsynligheten for at den er defekt?
Den totale sannsynligheten beregnes. Siden vi fra de forskjellige hendelsene beregner sannsynligheten for at den er mangelfull.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Uttrykt i prosent vil vi si at sannsynligheten for at en container produsert av dette selskapets fabrikk i USA er mangelfull, er 3,2%.
2. Hvis en container blir anskaffet og den er defekt, fortsetter med det forrige spørsmålet, hva er sannsynligheten for at den er produsert av maskin A? Og av maskin B? Og av maskin C?
Bayes teorem brukes her. Vi har forhåndsinformasjon, det vil si at vi vet at emballasjen er defekt. Selvfølgelig, når vi vet at den er defekt, vil vi vite hva som er sannsynligheten for at den er produsert av en av maskinene.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Å vite at en beholder er defekt, er sannsynligheten for at den har blitt produsert av maskin A 25%, at den har blitt produsert av maskin B er 28% og at den er produsert av maskin C er 47%.