Tilstrekkelig statistikk - Hva det er, definisjon og konsept

En tilstrekkelig statistikk for en parameter Θ er en som er i stand til å samle eller oppsummere all informasjonen som prøven til en tilfeldig variabel X inneholder.

Vi vet at en statistikk er en reell funksjon av utvalget. Det vil si at det tar reelle verdier som finnes i utvalget. Derfra, som vi har sett i artikkelen der begrepet statistikk er definert, må vi sørge for at statistikeren har visse egenskaper. Hvorfor kreve slike eiendommer? For å sikre at statistikken er nyttig for våre formål.

Nok er en av disse egenskapene. På en mye enklere måte vil vi si at en statistikk er tilstrekkelig hvis den bruker all informasjonen i prøven.

Hvordan vite om en statistikk er nok?

Logisk sett er spørsmålet som oppstår: Hvordan kan jeg vite om en T-statistikk oppfyller tilstrekkelig egenskap? Eller hvordan kan jeg finne, hvis den eksisterer, en statistikk som oppfyller egenskapen tilstrekkelig. Svaret på disse to spørsmålene finnes i to teoremer:

• Fisher-Neyman faktoriseringskriterium: Dette kriteriet sier at gitt en statistikk T, hvis den oppfyller visse betingelser, vil det være en tilstrekkelig statistikk.
• Darmois-setning: Denne teoremet svarer på det andre spørsmålet. Det vil si at det lar oss finne en tilstrekkelig statistikk gjennom en rekke prosedyrer.

Eksempel på tilstrekkelig statistikk

Anta at vi vil beregne den gjennomsnittlige årlige inntekten til familier som bor i Chile. For å gjøre dette vil vi følge følgende prosess:

1. Samle informasjon (prøve): Siden vi ikke kan spørre hver og en av familiene som bor i Chile hvor mye de tjener årlig, vil vi ta et representativt utvalg på for eksempel 1000 familier.
2. Identifiser den tilfeldige variabelen som studeres: Den tilfeldige variabelen som studeres er familieinntekt. Dermed: X → Familieinntekt
3. Velg riktig statistikk: Den aktuelle statistikken for å beregne gjennomsnittsinntekt er ingen ringere enn forventningen om X. Med andre ord er eksemplets gjennomsnitt av X.
4. Hvordan kan jeg vite om eksemplets middelstatistikk er tilstrekkelig? Ettersom vi allerede har det matematiske uttrykket for statistikken, vil vi bruke Fisher-Neyman factoring-kriteriet. Eller Darmois-teorien. De er formler laget for dette formålet.

Etter å ha brukt de riktige beregningene, konkluderer vi med at utvalget betyr statistikk som oppfyller kravet eller egenskapen til tilstrekkelig. Ved å sikre at den oppfyller dette kravet, sørger vi for at denne (statistiske) funksjonen, som lar oss syntetisere informasjonen (gjennomsnittlig inntekt), bruker all informasjonen i utvalget (de 1000 familiene).

Hvorfor er det viktig at jeg bruker all informasjonen i utvalget?

Nå som vi vet at gjennomsnittet av prøven er en tilstrekkelig statistikk, la oss anta en sak. Hvilken mening ville det være å ønske å beregne gjennomsnittsinntekten basert på de 1000 chilenske familiene, og at vi bare bruker dataene til 500 familier?

Selvfølgelig ville det ikke gi mening. Vi ønsker et sammendrag av all informasjonen. Det vil si det vi har definert som tilstrekkelig statistikk.