Uttrykket konkav brukes for å beskrive en overflate som har en innad krumning, og den sentrale delen er den mest sunkne eller deprimerte.
Derfor sier vi at en bakke eller en hindring som den som kan sees på veiene for å begrense hastigheten, er konkav.
På samme måte er det mulig å analysere om det er geometriske figurer som også er konkave. For eksempel er en konkav kurve en med en omvendt U-form. En måte å enkelt huske hvordan en konkav funksjon ser ut, er et trist ansikt.
Selv om bruken vi har gjort av konkaviteten har vært i forhold til en kurve, er sannheten at den også gjelder for matematiske funksjoner og polygoner, som vi vil se senere.
Hvordan vite om en funksjon er konkav?
Hvis det andre derivatet av en funksjon er mindre enn null på et punkt, er funksjonen konkav på det punktet.
Ovennevnte kan uttrykkes som følger:
f »(x) <0
For eksempel har vi funksjonen f (x) = -x2 + 2x + 5. Dens første derivat er f '(x) = -2x +2 og dets andre derivat vil være f »(x) = -2. Derfor er funksjonen f (x) = x2 + x + 3 er konkav for hver verdi av x, som vi ser i grafen nedenfor, som er en parabel:
La oss forestille oss denne andre funksjonen f (x) = x3-5x2 +7. Dens første derivat f '(x) = 3x2 -10x og dets andre derivat f »(x) = 6x -10. Når vi har beregnet det andre derivatet, må vi sjekke hvilke verdier av x, funksjonen er konveks.
Så vi setter det andre derivatet lik 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Derfor er funksjonen konkav når x er mindre enn 1,67, siden det andre derivatet av ligningen er negativt. Vi kan sjekke dette ved å erstatte forskjellige verdier på x. På samme måte er funksjonen konveks når x er større enn 1,67, som vi kan se på bildet nedenfor:
Konkave polygon
En konkav polygon er en der, for å bli med to av sine punkter, må det trekkes en rett linje som er utenfor figuren (en utvendig diagonal). I det minste er den ene innvendige vinkelen større enn 180º. Dette er for eksempel en konkav firkant som den vi ser nedenfor:
Det motsatte av en konkav polygon er en konveks. Dette er den der alle innvendige vinkler er mindre enn 180 °, og for å sammenføye et hvilket som helst to punkter i figuren, kan det trekkes en rett linje som forblir innenfor polygonet.