Logit- og Probit-modellene er ikke-lineære økonometriske modeller som brukes når den avhengige variabelen er binær eller dummy, det vil si at den bare kan ta to verdier.
Den enkleste binære valgmodellen er den lineære sannsynlighetsmodellen. Det er imidlertid to problemer med å bruke det:
- Sannsynlighetene som oppnås kan være mindre enn null eller større enn en,
- Den delvise effekten forblir alltid konstant.
For å overvinne disse ulempene ble logit-modellen og probit-modellen designet, som bruker en funksjon som bare antar verdier mellom null og en. Disse funksjonene er ikke lineære og tilsvarer de kumulative fordelingsfunksjonene.
Logit-modell
I Logit-modellen blir sannsynligheten for suksess evaluert i funksjonen G (z) = / (z) hvor
Dette er den standard logistiske kumulative fordelingsfunksjonen.
For eksempel, med denne funksjonen og disse parametrene vil vi få en verdi på:
Husk at den uavhengige variabelen er den forventede sannsynligheten for suksess. B0 indikerer den forventede sannsynligheten for suksess når hver av x-ene er lik null. Koeffisienten B1 cap måler variasjonen i den forventede sannsynligheten for suksess når variabelen x1 øker med en enhet.
Probit-modell
I Probit-modellen blir sannsynligheten for suksess evaluert i funksjonen G (z) =Φ (z) hvor
Dette er standard normal kumulativ fordelingsfunksjon.
For eksempel, med denne funksjonen og disse parametrene vil vi få en verdi på:
Delvise effekter i Logit og Probit
For å bestemme den delvise effekten av x1 på sannsynligheten for suksess, er det flere tilfeller:
For å beregne den delvise effekten må hver variabel byttes ut x for en spesifikk verdi brukes eksemplets gjennomsnitt av variablene ofte.
Metoder for estimering av Logit og Probit
Ikke-lineære minste firkanter
Den ikke-lineære estimatoren for minste kvadrat velger verdiene som minimerer summen av kvadratiske rester
I store prøver er den ikke-lineære beregningen av minste kvadrat konsistent, normalt distribuert og generelt mindre effektiv enn maksimal sannsynlighet.
Maksimal sannsynlighet
Den maksimale sannsynlighetsestimatoren velger verdiene for det som maksimerer sannsynligheten for logaritmen
I store prøver er maksimal sannsynlighetsestimator konsistent, normalt distribuert og den mest effektive (fordi den har den minste variansen av alle estimatorer)
Nytten til Logit og Probit-modellene
Som vi hadde påpekt i begynnelsen, er problemene med den lineære sannsynlighetsmodellen todelt:
- Sannsynlighetene som oppnås kan være mindre enn null eller større enn en,
- Den delvise effekten forblir alltid konstant.
Logit- og probit-modellene løser begge problemene: verdiene (som representerer sannsynligheter) vil alltid være mellom (0,1) og den delvise effekten vil endres avhengig av parametrene. Dermed vil sannsynligheten for at en person er involvert i en formell jobb for eksempel være annerledes hvis de nettopp har uteksaminert eller hvis de har 15 års erfaring.
Referanser:
Wooldridge, J. (2010) Introduksjon til økonometri. (4. utgave) Mexico: Cengage Learning.
Regresjonsmodell