Likevektsmodellene på renter er likevektsmodeller basert på en bruniansk geometrisk prosess og på risikonøytraliteten til kortsiktige renter.
Med andre ord, likevektsrentemodeller bruker kortere renter for å beregne fremtidige renter med tanke på rentestrukturen.
Som referanse for de kortsiktige rentene, vil vi bruke rentene til nullkupongobligasjoner. Et eksempel kan være spanske statsobligasjoner utstedt på kort sikt.
Anbefalte varer: null kupongobligasjon, opsjon og gjennomsnittlig tilbakeførsel.
Tidsstrukturen for nullkupongobligasjonspriser er hentet fra den bruniske geometriske prosessen som fanger uendelige endringer i kortsiktige renter.
Nullprisene på kupongobligasjoner brukes til å verdsette prisen på nullopsjoner og obligasjonsopsjoner.
Så, for å beregne fremtidige nullkupongobligasjonspriser, trenger vi kortsiktige nullkupongrenter. På denne måten kan vi også bygge kurven eller tidsstrukturen til nullkupongrenter. Når vi har kurven, kan vi bestemme utviklingen av langsiktige renter gitt de kortsiktige rentene.
Terminstruktur eller rentekurve for nullkupongobligasjoner beregnet fra Vasicek-modellen:
Forutsetninger om likevektmodell om renter
Forutsetningene for modellen er:
- Risiko nøytralitet.
Vi antar nøytral risiko som den klassiske forutsetningen for verdivurdering i finansielle markeder. Denne antagelsen er nøkkelen til å oppnå en obligasjonspris ved hjelp av Monte Carlo-simulering.
- Log-normal fordeling av obligasjoner og renter.
Vi antar log-normalfordelingen siden vi presenterer renten som en positiv variabel som obligasjonspriser. Det ville ikke være fornuftig å evaluere obligasjoner med negativt pris. Forutsatt lognormal fordeling av renten, kan vi si at rentene vil følge en brunistisk geometrisk prosess. Hvis fordelingen av rentene var en normalfordeling, vil vi si at rentene følger en brunisk aritmetisk prosess.
Enkelfaktor likevektsmodeller
Enfaktors likevektsmodeller er modeller for beregning av rentestrukturen av kortsiktige renter.
Vi sier om en enkelt faktor siden risikoen eller usikkerheten er gitt av en enkelt faktor: volatiliteten i rentene. Det er to-faktor likevektsmodeller som gir flere muligheter i rentebevegelser.
Matematisk definerer vi en enkeltfaktor likevektsmodell av formen:
Hvor,
- r (t): kortsiktige renter på et øyeblikk av t.
- dr: endring i renten (r) over tid (dt).
- dt: tidens gang = tidens utvikling.
- m (r) dt: retning eller trend (m) tatt av renten (r) over tid (dt).
- s (r): standardavvik på rentesatser (r).
- dZ: tilfeldig komponent eller forstyrrelse som følger en normalfordeling med gjennomsnitt 0 og varians 1.
Ovennevnte uttrykk er kjent som en stokastisk differensialligning uttrykt gjennom Itô-prosessen.
Modelltyper
De vanligste likevektmodellene med en faktor er:
- Rendleman og Bartter-modell.
- Vasicek-modell.
- Cox, Ingresoll og Ross modell.