Darmois-setningen er en setning som gjør det mulig å finne en statistikk T for en parameter θ med egenskapen tilstrekkelig.
Med enda enklere ord tillater det å finne det matematiske uttrykket, hvis noen, av tilstrekkelig statistikk.
I forhold til Fisher-Neyman factoring-kriteriet, kan vi ta en vurdering. Fisher-Neyman-faktoreringskriteriet tjener både til å sjekke om en statistikk oppfyller egenskapen tilstrekkelig, og for å finne det matematiske uttrykket for en tilstrekkelig statistikk (hvis den eksisterer). Derimot tillater Darmois 'teorem bare å finne det matematiske uttrykket (hvis det eksisterer) for en tilstrekkelig statistikk.
La oss si at mens Fisher-Neyman faktoriseringskriterium beveger seg fremover (søk) og bakover (sjekk), beveger Darmois-teoremet seg bare fremover (søk).
Darmois teoremformel
Teoretisk uttrykkes det, gitt en enkel tilfeldig prøve av en tilfeldig variabel X med tetthetsfunksjon f (x; θ) med θ ∈ Ω. Hvis denne funksjonen tilhører den eksponentielle familien, det vil si, kan den uttrykkes slik at:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Da blir statistikken T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
For å lette beregninger utføres vanligvis logaritmisk notasjon:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Selvfølgelig er det vanskelig å forstå all denne matematiske notasjonen. Mange ukjente vises, mange bokstaver, mange operatører. La oss definere det på nytt med dagligdags ord. For dette formål vil vi starte med den teoretiske definisjonen som brukes på et eksempel:
Anta et tilfeldig utvalg på 50 barn (enkelt tilfeldig utvalg) som vi spør om hvor mye penger de bruker per uke på søtsaker (tilfeldig variabel X) med en gitt tetthetsfunksjon (se tetthetsfunksjon). Så hvis denne tetthetsfunksjonen kan vi uttrykke den som følger:
Vi vil fastslå at tilstrekkelig statistikk er summen av uttrykket a (x)
Delene av formelen er definert som følger:
- lnβ (θ): Det er en funksjon som bare avhenger av parameteren (i vårt tilfelle gjennomsnittet)
- lnb (x): Det er en funksjon som bare avhenger av den tilfeldige variabelen X
- a (x): Det er en funksjon som bare avhenger av X og multipliserer α (θ)
- α (θ): Det er en funksjon som bare avhenger av parameteren (i vårt tilfelle gjennomsnittet)
Darmois teorem i praksis
Selv om vi alle har evnen og verktøyene til å oppdage ny statistikk, er dette sjelden normen. Med andre ord forsker økonomiprofessorer og eksperter på området på disse temaene.
På et personlig grunnlag er det vanskelig å finne noen som er dedikert til å gjøre denne typen forskning. I praksis er det viktigste med denne teorien å forstå hvor denne statistikken vi bruker kommer fra.
For eksempel for at noen skulle oppdage at gjennomsnittet er en tilstrekkelig statistikk, brukte de sannsynligvis denne prosessen.