Kombinatorikk uten repetisjon

Kombinatorikk uten repetisjon forstås som de forskjellige settene som kan dannes med «n» -elementer, valgt fra x i x. Hvert sett må skille seg fra det forrige i minst ett av elementene (rekkefølgen spiller ingen rolle), og disse kan ikke gjentas.

Kombinatorikk uten repetisjon er vanlig i statistikk og matematikk. Dette passer til mange virkelige situasjoner, og anvendelsen er ganske grei.

Ta for eksempel en student som har en 4-spørsmål eksamen. Av de fire spørsmålene må han velge tre. Hvor mange forskjellige kombinasjoner kan eleven lage? Hvis vi resonnerer litt, ville vi se (uten å faktisk bruke formelen) at studenten kunne velge hvordan de skulle svare på de 3 spørsmålene på fire forskjellige måter.

• Sett / alternativ 1: Svar på spørsmål 1,2,3.
• Sett / alternativ 2: Svar på spørsmål 1,2,4.
• Sett / alternativ 3: Svar på spørsmål 1,3,4.
• Sett / alternativ 4: Svar på spørsmål 2,3,4.

Som vi kan se, kan studenten danne 4 sett (n) med 3 elementer (x). Derfor forteller kombinatorikken uten repetisjon hvordan vi skal danne eller gruppere en endelig mengde data / observasjoner, i grupper av en viss størrelse uten at noen av elementene kan gjentas i hver gruppe. Dette er hovedforskjellen mellom kombinatoriet med repetisjon (elementer i hver gruppe kan gjentas) og kombinatoriet uten repetisjon (intet element kan repeteres i hver gruppe)

For å fremheve i dette eksemplet, er det et tilfelle kombinatorikk uten repetisjon, siden studenten ikke kan velge å stille noen av spørsmålene mer enn en gang. Derfor kan ikke elementene i settene gjentas.

I det forrige tilfellet, gitt at det totale antallet elementer er lite og mengden av settet er høy, er antall alternativer liten og kan lett utledes uten å bruke formelen. Når du bruker formelen direkte, vil telleren være 24 (4 * 3 * 2 * 1) og nevneren ville være 6 (3 * 2 * 1 * 1) som vi ville komme til beregningen på samme måte som uten å tenke på hvordan vi kunne gruppere disse fire spørsmålene i sett med tre.

Hvordan beregne kombinatorikk uten repetisjon?

Formelen til kombinatoriet uten repetisjon er:

Hvor:

• n = Totale observasjoner
• x = Antall valgte elementer

Eksempel av kombinatorisk uten repetisjon

La oss forestille oss en militærpeloton på 12 soldater. Hærens kaptein ønsker å danne grupper på 2 soldater for å infiltrere seg bak fiendens linjer på forskjellige punkter, hvor mange forskjellige grupper kan han danne?

For å løse problemet må vi først identifisere det totale antallet elementer. I dette tilfellet er det totalt 12 soldater, derfor har vi allerede vår n. Siden kapteinen vil ha grupper på 2, vet vi allerede hva x er. Når vi vet dette, kan vi erstatte i formelen og ha antall gruppekombinasjoner på 2.

• n = 12
• x = 2

Når du erstatter:

Ved å anvende fabrikk for nevneren, ville vi ha 12 * 11 * 10 * … * 1 = 479.001.600. For nevneren har vi 2 * 1 * 10 * 9 * 8 … * 1 = 7.257.600. Vårt kombinasjonstall er = 479,001,600 / 7,257,600 = 66.

Som vi kan se, kan kapteinen danne 66 forskjellige par soldater blant de 12 han har.