Barycenter av en trekant - Hva er det, definisjon og konsept
Tyngdepunktet til en trekant er det punktet hvor figurens medianer krysser hverandre. Det er også kjent som en centroid.
Det skal huskes at medianen er det segmentet som forbinder toppunktet til trekanten med midtpunktet på motsatt side. Dermed har hver trekant tre medianer.
For eksempel, i trekanten over, er tyngdepunktet punkt O, med medianene er segmentene AF, BD og CE.
En viktig egenskap ved tyngdepunktet er at avstanden fra hvert toppunkt er dobbelt så lang avstand fra motsatt side.
For bedre å forklare det kan man skille mellom to deler i hver median:
- Avstanden fra toppunktet til tyngdepunktet, som er 2/3 av lengden av medianen
- Den resterende 1/3, som er avstanden fra tyngdepunktet til midtpunktet på motsatt side.
På bildet ovenfor er det for eksempel sant at:
Hvordan finne tyngdepunktet til en trekant
For å finne tyngdepunktet til trekanten må vi ta i betraktning at koordinatene til tyngdepunktet tilsvarer koordinatene til trekantene i trekanten, og tilsvarer det aritmetiske gjennomsnittet. Anta at toppunktene er:
Da ville koordinatene til tyngdepunktet, som vi vil kalle O, være:
Nå er det også mulig å finne tyngdepunktet hvis vi har ligningene til linjene som inneholder minst to av medianene.
Husk at i analytisk geometri kan en linje uttrykkes som en førsteordens algebraisk ligning som:
y = xm + b
I den ligningen som er vist, er y koordinaten på ordinataksen (vertikal), x er koordinaten på abscisseaksen (horisontal), m er hellingen (hellingen) som danner linjen i forhold til abscissaksen, og b er punktet der linjen krysser ordinataksen.
For å bedre forstå det ovennevnte, la oss se på et eksempel.
Eksempel på tyngdepunkt
Anta at vi har en trekant som vi kjenner to av dens toppunkter:
A (0,4) og B (-2,1)
Nå er det videre kjent at midtpunktet til siden motsatt toppunkt A er (3,1), og midtpunktet til siden motsatt toppunkt B er (4, 2,5). Det er verdt å avklare at vi bruker semikolonet for ikke å forveksles med kommaet som skiller desimalene.
Først finner vi ligningen til linjen som inneholder medianen som starter fra toppunkt A, og tar i betraktning at skråningen når den går fra ett punkt til et annet alltid må være den samme. Hellingen er variasjonen i den vertikale aksen mellom variasjonen i den horisontale aksen:
Det vi har gjort er å anta at linjen går gjennom et punkt (x1, y1), som er toppunktet A (0, 4), og gjennom punktet (x2, y2) som er midtpunktet på motsatt side (3, 1).
Deretter gjør vi det samme med toppunkt B (-2,1) og midtpunktet på motsatt side (-4, -2,5):
Neste trinn utjevner vi høyre side av de to ligningene som er funnet for å løse verdien på X-aksen når begge sammenfaller:
Deretter løser vi i noen av ligningene for å finne verdien av y:
Derfor er tyngdepunktet til trekanten punktet (2,2) i det kartesiske planet.
