The Central Limit Theorem (TCL) er en statistisk teori som sier at gitt et tilstrekkelig stort tilfeldig utvalg av befolkningen, vil fordelingen av utvalgsmiddelene følge en normalfordeling.
Videre fastslår TCL at når prøvestørrelsen øker, vil gjennomsnittet av prøven komme nærmere populasjonsgjennomsnittet. Derfor kan vi ved hjelp av TCL definere fordelingen av prøvenes gjennomsnitt for en bestemt populasjon med kjent varians. Så fordelingen vil følge en normalfordeling hvis utvalgsstørrelsen er stor nok.
Hovedegenskapene til den sentrale grensesetningen
Den sentrale grensesetningen har en rekke meget nyttige egenskaper innen det statistiske og sannsynlige feltet. De viktigste er:
- Hvis prøvestørrelsen er stor nok, vil fordelingen av prøvemidlene omtrent følge en normalfordeling. TCL anser et utvalg som stort når størrelsen er større enn 30. Derfor, hvis prøven er større enn 30, vil prøvene ha en fordelingsfunksjon nær en normal. Og dette gjelder uansett hvilken distribusjonsform vi jobber med.
- Populasjonssnittet og gjennomsnittet av utvalget vil være det samme. Det vil si at gjennomsnittet av fordelingen av alle utvalgsmidlene vil være lik gjennomsnittet av den totale befolkningen.
- Avviket til fordelingen av prøveinnretningen vil være σ² / n. Hvilken er variansen til populasjonen delt på utvalgsstørrelsen.
At fordelingen av prøven betyr at det ligner på en normal er veldig nyttig. Fordi normalfordelingen er veldig enkel å bruke for å utføre hypotesetester og konstruksjon av konfidensintervaller. I statistikk som en fordeling er normal er ganske viktig, siden mange statistikker krever denne typen distribusjon. I tillegg vil TCL tillate oss å gjøre slutninger om populasjonsgjennomsnittet gjennom gjennomsnittet av prøven. Og dette er veldig nyttig når vi på grunn av mangel på midler ikke kan samle inn data fra en hel befolkning.
Eksempel på sentralgrenseteorem
La oss forestille oss at vi ønsker å analysere den historiske gjennomsnittlige avkastningen til S&P 500-indeksen, som som kjent har omtrent 500 selskaper innenfor seg. Men vi har ikke nok informasjon til å analysere alle de 500 selskapene i indeksen. I dette tilfellet vil den gjennomsnittlige lønnsomheten til S&P 500 være befolkningsgjennomsnittet.
Nå, etter TCL, kan vi ta et utvalg av disse 500 selskapene for å utføre analysen. Den eneste begrensningen vi har er at det i utvalget må være mer enn 30 selskaper for at teoremet skal oppfylles. Så la oss forestille oss at vi tilfeldig velger 50 selskaper fra indeksen og gjentar prosessen flere ganger. Fremgangsmåten for å følge i eksemplet vil være følgende:
- Vi velger utvalget på rundt 50 selskaper og oppnår gjennomsnittlig lønnsomhet for hele utvalget.
- Vi velger kontinuerlig 50 selskaper og oppnår gjennomsnittlig lønnsomhet.
- Fordelingen av alle gjennomsnittsavkastningene til alle de valgte prøvene vil være omtrentlig en normalfordeling.
- Gjennomsnittlig avkastning for alle utvalgte prøver vil tilnærme gjennomsnittlig avkastning for totalindeksen. Som vist av Central Limit Theorem.
Derfor kan vi på grunnlag av den gjennomsnittlige avkastningen til utvalget nærme seg den gjennomsnittlige avkastningen til indeksen.