Funksjonelle ligninger er de som har en annen funksjon som ukjent. En funksjon som kan knyttes til en algebraisk operasjon som addisjon, subtraksjon, divisjon, multiplikasjon, kraft eller rot.
Funksjonelle ligninger kan også defineres som de som ikke lett kan reduseres til en algebraisk funksjon, av typen f (x) = 0, for deres oppløsning.
Funksjonelle ligninger karakteriseres fordi det ikke er noen eneste måte å løse dem på. I tillegg kan den aktuelle variabelen ta forskjellige verdier (vi vil se den med eksempler).
Eksempler på funksjonelle ligninger
Noen eksempler på funksjonelle ligninger er:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ og2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
I tilfeller som de forrige, kan det for eksempel legges til at x tilhører settet med reelle tall, det vil si x ∈ R (null kan utelukkes).
Eksempler på funksjonelle ligninger
La oss se noen eksempler på løste funksjonelle ligninger:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Så hvis jeg erstatter x med 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
La oss nå se et annet eksempel med litt vanskeligere problemer, men hvor vi vil gå frem på en lignende måte:
x2f (x) -f (5-x) = 3x … (1)
I dette tilfellet løser vi først for f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x … (2)
Nå erstatter jeg x med 5-x i ligning 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Vi husker at f (5-x) er i ligning 2:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchys funksjonelle ligning
Cauchy-funksjonen er en av de mest grunnleggende i sitt slag. Denne ligningen har følgende form:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Forutsatt at x og y er i settet med rasjonelle tall, forteller løsningen av denne ligningen at f (x) = cx, hvor c er en konstant, og det samme skjer med f (y).