Cramér-Rao bound (CCR) er minimumsavviket, gitt regulatoriske forhold, en estimator for en parameter kan nå.
Med andre ord ser vi etter variansen som er nærmest denne nedre grensen for å finne den beste estimatoren i henhold til egenskapene til upartiskhet og effektivitet.
Det anbefales å lese egenskapene til estimatorene
Disse egenskapene brukes når vi må velge en estimator for å utføre en økonometrisk analyse. Hvis vi vil at resultatene våre skal være avgjørende, må vi i det minste kreve at estimatoren er upartisk og å ha minst mulig varians av alle de objektive estimatorene (effektivitet).
Selv om vi tar hensyn til alle de objektive estimatorene, kan det hende at det er en annen objektiv estimator som har mindre varians når vi ser etter minimumsvariansestimatoren.
Slik at ingen objektiv estimator med minimumsavvik unnslipper oss, etablerer vi et minimum eller en nedre grense som variansen til den objektive estimatoren til en parameter ikke kan overstige.
Vi ser bare på de objektive estimatorene fordi de partiske estimatorene kan ha avvik mindre enn CCR.
Formulering
Vi definerer:
f (X; Θ): sannsynlighetstetthetsfunksjon.
E (·): matematisk håp.
Jeg (Θ): Fisher-informasjon om en parameter.
Representerer "mengden informasjon" om verdien av parameteren som finnes i en observasjon av den tilfeldige variabelen X.
Formel:
Ikke få panikk! Hva kan vi se ved første øyekast fra denne formelen?
- Vi kan se at det er en ikke-streng ulikhet (≥) i stedet for en likhet (=). Dette er fordi vi i noen tilfeller ikke finner (eksisterer ikke) en upartisk estimator som når CCR-grensen. Derfor sier vi at vi leter etter variansen til en upartisk estimator som er så nær denne nedre grensen som mulig. I tillegg forteller CCR oss hva minimumsavviket til estimatoren vil være, under denne figuren kan den ikke bli funnet.
- Delen til høyre (var (Θ ’) er variansen til estimatet av parameteren vår.
- Delen til venstre (1 / J (Θ)) er det uoverstigelige minimumet av variansen.
- Hvis vi ser etter et (absolutt) minimum for variansen til estimatoren for Θ, er det logisk at partielle derivater (derivater med hensyn til Θ) vises.
- I økonomi brukes delderivater i første og andre ordens forhold for å optimalisere nyttefunksjoner: Finn henholdsvis de relative og absolutte maksimumene og minimumene.
- CCR bruker det første delderivatet av parameteren Θ på sannsynlighetstetthetsfunksjonen f (X; Θ)
- For å gjøre det lettere å beregne, brukes i andre tilfeller den andre avledede og alternative Fisher-informasjonen for å skaffe CCR.
Estimatorene som, som er upartiske, har en avvik lik CCR, vil da bli ansett som de mest effektive. Tilsvarende vil de upartiske hvis avvik er nærmere betraktes som relativt mer effektive enn de andre estimatorene (lenger borte).
