Fractal Geometry - Hva det er, definisjon og konsept

Fraktal geometri er den grenen av geometri som studerer fraktaler. Dette er komplekse objekter, med en struktur som gjentas når vi observerer den i forskjellige skalaer.

Fraktaler består med andre ord av deler som ligner på helheten og er uregelmessige strukturer. La oss tenke på et brokkolihode, som når vi deler det blir delt inn i flere mindre brokkoli.

Fraktalgeometri ble født av behovet for å få en bedre tilnærming til virkeligheten, siden plangeometri og romgeometrien studerer figurer og kropper som vi, veldig neppe, finner i naturen.

Tenk på at fjell ikke er kjegler, og at selv pyramidene i Egypt, hvis vi ser nøye på dem, vil ha visse uregelmessigheter på overflaten. Disse ufullkommenhetene kalles med kvaliteten på ruhet, og det er en egenskap som tilfører fraktal geometri til objekter, som ikke lenger bare har omkrets, areal og volum.

Opprinnelse til fraktal geometri

Opprinnelsen til fraktal geometri er banebrytende av matematikeren Benoit Mandelbrot, så vel som hans største litterære arbeid: "Fractal Geometry of Nature", utgitt i 1982.

Ordet fraktal kommer fra det latinske ordet "fractus", som betyr ødelagt eller brutt, og ble laget av Mandelbrot i 1975.

Det er verdt å nevne at selv om Mandelbrot formaliserte studiet av fraktaløkonomi, var han ikke den første som la merke til eksistensen av fraktaler i naturen. For eksempel, hvis vi ser på arbeidet til den kjente japanske maleren Katsushika Hokusai, vil vi se at konseptet blir brukt (og Mandelbrot selv nevnte det i et intervju). For eksempel i maleriet "The Great Wave" observerer vi hvordan inne i bølgen er det andre mindre bølger.

Kjennetegn ved en fraktal

Hovedegenskapene til en fraktal er følgende:

• Selvlikhet: Det refererer til det vi allerede har nevnt før. Hvis vi ser på en del av fraktalen i større skala (nærmere) vil den se ut som hele objektet. Det vil si at delen ligner på helheten, selv om dette ikke alltid er helt sant. La oss for eksempel forestille oss en rombe som består av mange små romber. Selv om størrelsen på disse romber varierer litt, ville det være en fraktal.
• Brøkdimensjon er ikke lik den topologiske dimensjonen: For å forklare den topologiske dimensjonen, la oss forestille oss at vi har et plan delt inn i rutenett, som et nett. Så jeg tegner en linje som går gjennom 2 rutenett. Hvis jeg delte alle maskenettene i to, ville linjen gå gjennom 4 nett. Det vil si at den multipliseres med 2, som er lik reduksjonsfaktoren (2) hevet til 1 (2 = 2¹), som, verdt redundansen, er antall dimensjoner på linjen. Nå, hvis vi har en polygon, en todimensjonal figur, skjer noe lignende. For eksempel, hvis vi har en firkant som strekker seg over fire rutenett, og vi bruker en reduksjonsfaktor på 2 igjen, vil firkanten spenne over 16 rutenett. Det vil si at antall nett (4) multipliseres med 4, som er 2 hevet til 2 (2 = 2²), eksponenten er antall dimensjoner i kvadrat. Imidlertid er alt det ovennevnte ikke sant i fraktaler.
• De kan ikke skilles på noe tidspunkt: Dette betyr, i matematiske termer, at derivatet av den representerte funksjonen ikke kan beregnes. I visuelle termer betyr det at grafen ikke er kontinuerlig, men har topper, så det er ikke mulig å utlede.

Anvendelse av fraktal geometri

Fraktalgeometri kan brukes i forskjellige felt. For eksempel hadde Lewis Fry Richardson i 1940 observert at forskjellige grenser mellom land og land endret seg avhengig av målestørrelsen. Det vil si at hvis vi måler en geografisk kontur, vil resultatet variere avhengig av lengden på linjalen som brukes. Dette fungerte som en referanse for Mandelbrot i sin artikkel fra 1967, publisert i tidsskriftet Science: "Hvor lenge er Storbritannias kyst?"

Det kan forklares, hvis vi tar i betraktning at de geografiske områdene er fraktaler, og som vi ser dem i større skala, ser vi flere uregelmessigheter.

En annen anvendelse av fraktal geometri er analysen av seismiske bevegelser og bevegelser i aksjemarkedet.

I tillegg må vi erkjenne at fraktaler har tjent som inspirasjon til artister som nevnte Hokusa, og vi har også tilfellet Jackson Pollock.