En lineær kombinasjon av vektorer oppstår når en vektor kan uttrykkes som en lineær funksjon av andre vektorer som er lineært uavhengige.
Med andre ord er den lineære kombinasjonen av vektorer at en vektor kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av andre vektorer som er lineært uavhengige av hverandre.
Krav til lineær kombinasjon av vektorer
Den lineære kombinasjonen av vektorer må oppfylle to krav:
- At en vektor kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av andre vektorer.
- La disse andre vektorene være lineært uavhengige av hverandre.
Lineær kombinasjon i kalkulus
I grunnleggende matematikk er vi vant til å ofte se lineære kombinasjoner uten å innse det. For eksempel er en linje en kombinasjon av en variabel i forhold til den andre, slik at:
Men røtter, logaritmer, eksponensielle funksjoner … er ikke lenger lineære kombinasjoner siden proporsjonene ikke forblir konstante for hele funksjonen:
Så hvis vi snakker om lineær kombinasjon av vektorer, vil ligningens struktur ha følgende form:
Når vi snakker om vektorer, og den forrige ligningen refererer til variabler, for å bygge kombinasjonen av vektorer, trenger vi bare å erstatte variablene med vektorer. La følgende vektorer være:
Så vi kan skrive dem som en lineær kombinasjon som følger:
Vektorene er lineært uavhengige av hverandre.
Gresk brev lambda fungerer som parameter m i linjens generelle ligning. Lambda vil være et hvilket som helst reelt tall, og hvis det ikke vises, sies det at verdien er lik 1.
At vektorene er lineært uavhengige betyr at ingen av vektorene kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av de andre. Det er kjent at de uavhengige vektorene danner et grunnlag for rommet og den avhengige vektoren også tilhører det rommet.
Parallelepiped eksempel
Vi antar at vi har tre vektorer, og vi vil uttrykke dem som en lineær kombinasjon. Vi vet også at hver vektor kommer fra samme toppunkt og utgjør abscissen til toppunktet. Den geometriske figuren er en parallellpiped. Siden de informerer oss om at den geometriske figuren som disse vektorene danner er abscissen til en parallellpiped, avgrenser vektorene ansiktene til figuren.
Først må vi vite om vektorene er lineært avhengige. Hvis vektorene er lineært avhengige, kan vi ikke danne en lineær kombinasjon fra dem.
Tre vektorer:
Hvordan kan vi vite om vektorene er lineært avhengige hvis de ikke gir oss informasjon om koordinatene deres?
Vel, ved hjelp av logikk. Hvis vektorene var lineært avhengige, ville alle ansiktene til parallellpipedene kollapse. Med andre ord, de ville være de samme.
Derfor kan vi uttrykke en ny vektor w som et resultat av den lineære kombinasjonen av de forrige vektorene:
Vektor som representerer kombinasjonen av de forrige vektorene:
Grafisk:
