Den eksponensielle funksjonen er grunnlaget for kontinuerlig sammensetting, som er resultatet av å øke uendelig (når p har en tendens til uendelig) frekvensen for beregningen av interesse i en sammensatt sammensetting.
Med andre ord er den eksponentielle funksjonen en sammensatt sammensetting der tidsperioder mellom renteberegninger er uendelige (veldig små).
Formelen for den eksponensielle funksjonen er:
Kontinuerlig sammensetting kan uttrykkes som
Rimelige likheter mellom kontinuerlig bruk av store bokstaver og den eksponensielle funksjonen, ikke sant?
Vi definerer variablene for kontinuerlig bruk av store bokstaver:
- Ct + 1: kapital på tidspunktet t + 1 (senere).
- Ct: kapital på tidspunktet t (nåværende).
- Jegt: rente på tidspunktet t.
- p: frekvens av blanding eller periodisitet.
- t: tid.
applikasjoner
I finans finner vi ofte den eksponensielle funksjonen i formelen for kontinuerlig kapitalisering av fremtidig inntekt og i noen økonometriske regresjoner.
I økonomi er det ikke så populært fordi de fleste mikroøkonomiske og makroøkonomiske modeller antar avtagende marginal avkastning på produksjonsfaktorene. Derfor antar de at faktorene følger logaritmisk avkastning og derfor returnerer i strid med den eksponensielle funksjonen.
Eksponentiell funksjonseksempel
Vi antar at vi er en amerikansk investor som ønsker å bygge en skibakke i Pico Bolívar, Venezuela. Den opprinnelige investeringen er $ 100MM til en årlig rente på 100%. Denne investoren har tilstrekkelig forhandlingsstyrke til å bestemme periodisiteten til beregningen av renten på investeringen.
Hvilket alternativ vil den amerikanske investoren foretrekke?
For å svare på spørsmålet, må vi beregne kapitalen i tide t + 1 (Ct + 1) som investoren vil motta.
Informasjon tilgjengelig:
Ct: $ 100MM
Jegt: 100%
t: 1 (årlig)
Ct + 1: ?
| Alternativ | TIL | B | C | D | OG | F |
| Periodisitet | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Vi erstatter informasjonen vi har i de to formlene (funksjon eksp. Og kontinuerlig bruk av store bokstaver)
Vi behandler dataene og unngår MM.
Vi deler (Ct + 1) per 100 i den eksponensielle funksjonen for å eliminere effekten av kapital. På denne måten beveger vi kommaet to steder fremover. Følgelig er denne effekten synlig i de følgende kolonnene med resultater.
Resultater:
| Formel | Kontinuerlig sammensetting | Eksponensiell funksjon |
| Periodisitet (p) eller (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Når n eller p har en tendens til uendelig, i dette tilfellet fra 10 000 000, kan vi se at verdiene konvergerer på et bestemt tall. For kontinuerlig sammensetting er det 271,8281 og for eksponensiell funksjon er det 2,718281. De to seriene kommer sammen og.
Svaret på trening løst
Så hvilket alternativ vil den amerikanske investoren ender med å velge, hvis hovedstaden på t + 1 (Ct + 1) boder til en bestemt verdi?
- Hvis denne investoren behandler kapital som en diskret variabel, vil han velge alternativ D. Siden fra alternativ C, kapital på t + 1 (Ct + 1) konvergerer til $ 271MM.
- Hvis denne investoren behandler kapital som en kontinuerlig variabel, vil han velge alternativet med flere periodiser. I dette tilfellet alternativ F. Selv om det ender med å konvergere til en verdi, tar investoren hensyn til alle desimaler.
Denne konvergensen innebærer at kapital ved t + 1 (Ct + 1), beregnet ved hjelp av den kontinuerlige sammensatte formelen eller den eksponensielle funksjonen, følger avtagende marginale avkastninger. Med andre ord, (Ct + 1) kan uttrykkes som en logaritmisk funksjon.
Skjematisk:
- Periodisitet = eksponentiell funksjon.
- Hovedstad til t + 1 (Ct + 1) = logaritmisk funksjon.
Grafisk fremstilling
I grafen kan du se hvordan den eksponensielle funksjonen, som er uendelig kontinuerlig, vokser mye raskere enn den begrensede kontinuerlige kapitaliseringen. Når vi snakker om kontinuerlig bruk av store bokstaver, refererer vi til en slags sammensatt kapitalisering, men med større periodisitet, siden det i praksis er umulig å kapitalisere interessene uendelig. Jeg mener, vi kan ikke dra nytte av hvert sekund.