Sett algebra - Hva det er, definisjon og konsept

Sett algebra er et studieområde innen matematikk og logikk, med fokus på operasjonene som kan utføres mellom sett.

Sett algebra er en del av det vi kjenner som mengde teori.

Det skal huskes at et sett er grupperingen av elementer av forskjellige slag, for eksempel bokstaver, tall, symboler, funksjoner, geometriske figurer, blant andre.

Angi operasjoner

Hovedoperasjonene med sett er følgende:

Union: Foreningen av to eller flere sett inneholder alle elementene som tilhører minst ett av disse settene. Det er angitt med bokstaven U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Kryss: Skjæringspunktet mellom to eller flere sett inkluderer elementene som disse settene deler. Det indikeres av den omvendte U (∩). Eksempel:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Forskjell: Forskjellen på ett sett i forhold til et annet er lik elementene i det første settet minus elementene i det andre. Det er indikert med symbolet eller -. Sett på en annen måte, x ∈ a A B hvis x ∈ A, men x ∉ B. Eksempel:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Komplement: Komplementet til et sett inkluderer alle elementene som ikke er inkludert i det settet (men som tilhører et annet universelt referansesett). Det er angitt med overskrift C. Eksempel:

A = (3,9,12,15,18)

U (Universe) = Alle multipler av 3 som er helt naturlige tall mindre enn 30.

TIL^C=(6,21,24,27)

Symmetrisk forskjell: Den symmetriske forskjellen på to sett inkluderer alle elementene som er i det ene eller det andre, men ikke begge samtidig. Det vil si at det er foreningen av settene minus krysset deres. Dens symbol er Δ. Eksempel:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Kartesisk produkt: Det er en operasjon som resulterer i et nytt sett, som inneholder som elementer de ordnede parene eller tuplene (ordnet serie) av elementene som tilhører to eller flere sett. De bestilles par hvis det er to sett og tupler hvis vi har mer enn to sett. Eksempel:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Lov om sett algebra

Lovene for angitt algebra er som følger:

Idempotens: Foreningen eller skjæringspunktet mellom et sett og seg selv resulterer i samme sett:

XUX = X

X∩X = X

Kommutativ: Faktorenes rekkefølge endrer ikke resultatet når man finner foreningen eller skjæringspunktet mellom sett:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Distribuerende: Foreningen av et sett X, med skjæringspunktet mellom to andre sett Y og Z, er lik skjæringspunktet mellom foreningen av X og Y, med foreningen av X og Z. Det vil si:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Videre gjelder det samme hvis vi reverserer rekkefølgen på operasjonene:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Associative: Betingelsene for en union eller kryssoperasjon av flere sett kan grupperes utydelig, og alltid oppnå det samme resultatet:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Morgan's Law: Komplementet til foreningen av to sett er lik skjæringspunktet mellom komplementene deres, og komplementet til krysset mellom to sett er lik foreningen av deres komplement.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

Forskjell lov: Forskjellen på ett sett i forhold til et annet er lik skjæringspunktet mellom det første og komplementet til det andre:

(X-Y) = X∩Y^C

Utfyllingslover:
- Foreningen av et sett med dets komplement tilsvarer ikke det universelle settet. XUX^C= U
- Skjæringspunktet til et sett med dets komplement er lik null eller tomt sett. X∩X^C=∅
- Komplementet til komplementet til et sett X er lik settet X. (X^C)^C= X
- Komplementet til det universelle settet er lik null eller tomt sett. X^C=∅
- Komplementet til det tomme settet er lik det universelle settet. ∅^C= U